In der Mathematik ist eine Kugelbedingung eine Eigenschaft einer Teilmenge eines metrischen Raums, in der Regel des . Anschaulich erfüllt die Kugelbedingung, wenn man an jeden Randpunkt eine Kugel so anlegen kann, dass der Schnitt des Randes mit dieser Kugel nur ebendieser Punkt ist. Je nachdem, ob diese Kugel in der Menge oder außerhalb liegt, spricht man von einer inneren bzw. äußeren Kugelbedingung.

Kugelbedingungen finden beispielsweise Anwendung bei der Formulierung von Bedingungen an die Lösbarkeit des Dirichlet-Problems mit der Poissongleichung.

Mathematische Formulierung

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Äußere Kugelbedingung in  , innere (und äußere) Kugelbedingung in  

  erfüllt in   eine innere Kugelbedingung, wenn gilt:

 

Umgekehrt erfüllt   in   eine äußere Kugelbedingung, wenn gilt:

 

Dabei bezeichnet   die Kugel um   mit Radius  . Gilt diese Behauptung für jeden Punkt  , so sagt man, dass   die Kugelbedingung erfüllt. Kann außerdem in jedem Punkt derselbe Radius   verwendet werden, sagt man, dass die Kugelbedingung gleichmäßig erfüllt ist.

Beispiele

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Das Vorliegen einer Kugelbedingung stellt eine gewisse Glattheit des Randes sicher. Offenbar erfüllen die Punkte auf den Kanten eines Würfels keine innere Kugelbedingung. Die inneren Flächenpunkte einer Würfeloberfläche erfüllen offenbar eine Kugelbedingung, aber nicht gleichmäßig, da man mit dem Radius kleiner werden muss, wenn man sich mit dem Punkt einer Kante nähert. In nebenstehender Zeichnung genügt   einer gleichmäßigen äußeren Kugelbedingung, wie leicht aus der Konvexität der Menge   folgt. In den spitzen Ecken wie   liegt keine innere Kugelbedingung vor.

Literatur

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  • Free boundary problems. Theory and applications. In: Pierluigi Colli, Claudio Verdi, Augusto Visintin (Hrsg.): International Series of Numerical Mathematics. Nr. 147. Birkhäuser, Basel u. a. 2004, ISBN 3-7643-2193-8, S. 232 (englisch).