Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor, den Ricci-Tensor sowie den Ricci-Skalar wie folgt ausgedrückt werden:[2]
Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius völlig harmlos. Die Divergenz von bei zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt[6].
Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse und des Drehimpulses lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter in Boyer-Lindquist Koordinaten[7] mit
mit den Größen , und . Dann ist der Kretschmann-Skalar[8][9]
Der Kretschmann-Skalar geht für die verschwindende Rotation über in !
hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei[10]
Bei dieser Singularität wird . In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten[11] und gilt
Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius , der in der --Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für und diskutieren Stephen Hawking und George Ellis[12].
Die Größe ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar vorkommt[13].
↑Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S.168.
↑Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.
↑Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S.169.
↑Zee, A.: Einstein Gravity in a Nutshell. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2013, ISBN 978-0-691-14558-7, S.365.
↑Padmanabhan, T.: Gravitation - Foundations and Frontiers. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-88223-1, S.366.
↑Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. 2008, arxiv:0706.0622.
↑McMahon, David: relativity DeMYSTiFied - a self-teaching guide. 1. Auflage. McGraw Hill, New York 2006, ISBN 0-07-145545-0, S.252.
↑S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S.162.
↑S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S.163.
↑Straumann, Norbert: General Relativity - With Applications in Astrophysics. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 3-540-21924-2, S.564.