In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.

Konstruktion

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Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.

Die Khovanov-Klammer   von Diagrammen   wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt

  • Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex  .
  •  .
  • Wenn Diagramme dreier Verschlingungen   sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist  .

Dabei ist   ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern   und   in Graden   und  ,   steht für Gradverschiebung um  , und   macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.

     
     

Die Khovanov-Homologie   ist dann definiert als Homologie von  , wobei   für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht,   für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und   wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.

Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.

Eigenschaften

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Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper  .

Khovanov-Homologie einer Verschlingung   ist ein  -Vektorraum   mit folgenden Eigenschaften:

  • Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
  • Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt  , insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu  ..
  • Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist  .
  • Wenn Diagramme dreier Verschlingungen   sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck  .
     
     

Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung

 ,

so dass

  • ein Linkkobordismus   eine Abbildung   vom Bigrad   induziert,
  • der Erzeuger von   den Bigrad   und die Erzeuger von   den Bigrad   und   haben,
  • das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz
 
wobei   die Anzahl der negativen Überkreuzungen von   minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von   ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz
 
wobei   die Anzahl der negativen Überkreuzungen von   minus die Anzahl der Überkreuzungen von   ist.
   
Positive
Überkreuzung
Negative
Überkreuzung

Khovanov-Homologie als Kategorifizierung des Jones-Polynoms

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Für eine orientierte Verschlingung ist die gradierte Euler-Charakteristik

 

das Jones-Polynom von  .

Literatur

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  • M. Khovanov: A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, 2000.
  • Dror Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic & Geometric Topology, 2: 337–370, 2002.
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