Källén-Lehmann-Darstellung

Die Källén-Lehmann-Darstellung, nach Gunnar Källén[1] und Harry Lehmann[2], oder spektrale Darstellung ist eine Darstellung von Propagatoren in der Quantenfeldtheorie. Die Källén-Lehmann-Darstellung ist exakt, beruht also nicht auf störungstheoretischen Näherungen. Sie lautet für ein skalares Feld im Ortsraum:

Dabei ist

  • der Propagator des Quantenfelds vom Raumzeitpunkt nach und
  • die Spektraldichte.

Man definiert

als (bis auf numerische Faktoren) die Fouriertransformierte des Propagators als Propagator im Impulsraum.

SpektraldichteBearbeiten

Die Spektraldichte eines Feldes   ist definiert über

 

mit

  • der Heaviside-Funktion  ,
  • physikalischen Vielteilchen-Zuständen   und
  • Viererimpulsen der einzelnen Teilchen   im Vielteilchenzustand.

Die Spektraldichte ist ein Lorentzskalar und kann daher nur von   abhängen. Da   nur physikalische Zustände mit   umfasst, folgt für den physikalisch sinnvollen Definitionsbereich der Spektraldichte  . Für   kann sie identisch Null gesetzt werden. Da die Größe auf der rechten Seite der Gleichung stets größer gleich Null ist, ist auch die Spektraldichte für   nichtnegativ.

Die Spektraldichte folgt aus dem optischen Theorem zu

 ,

ist also proportional zum Imaginärteil des Propagators. Da der Propagator nur genau dann einen Imaginärteil hat, wenn das Feld auf der Massenschale ist oder wenn das Teilchen schwer genug ist, in leichtere Teilchen mit Massen   zu zerfallen, hat die Spektraldichte eine Singularität bei   und einen kontinuierlichen Anteil für  .

HerleitungBearbeiten

Die Zweipunktfunktion   ohne Zeitordnung kann durch Einschieben einer Eins in Form von

 

geschrieben werden. Weiteres Einfügen von Einsen in Form von   respektive dem Analogon mit   mit dem Impulsoperator   führt zu:

 

Aus der Wirkung des Impulsoperators auf die verschiedenen Objekte – das Vakuum ist invariant  , der Impulsoperator auf einen Zustand gibt seinen Impuls   und als Generator von Translationen verschiebt er Felder   – sowie dem Einschieben einer Delta-Distribution folgt

 

Erneutes Einfügen einer Delta-Distribution ergibt:

 

Die Anwendung des Zeitordnungsoperators auf die Zweipunktfunktion führt in Verbindung mit der mathematischen Identität

 

zur Källén-Lehmann-Darstellung.

LiteraturBearbeiten

  • Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, S. 467–471 (englisch).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gunnar Källén: On the Definition of the Renormalization Constants in Quantum Electrodynamics. In: Helvetica Physica Acta. Band 25, Nr. 4, 1952, S. 417–434.
  2. Harry Lehmann: Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder. In: Il Nuovo Cimento. Band 11, Nr. 4, 1954, S. 342–357.