Interpolationssatz von Riesz-Thorin

Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin (oder Konvexitätssatz von Riesz-Thorin) ist ein Resultat aus der Operatortheorie, welches sagt, dass ein linearer Operator, welcher auf zwei L^p-Räumen (für unterschiedliche $p$) beschränkt ist, auch auf allen $L^{p}$-Räumen für dazwischen liegende $p$ beschränkt ist. Die Aussage gilt dabei für $p\in [1,\infty ]$. Das heißt also, zeigt man das ein Operator zum Beispiel auf $L^{1}$ und $L^{\infty }$ beschränkt ist, so gilt die Aussage nach dem Interpolationssatz auch für $L^{p}$ mit $1\leq p\leq \infty$.

Die ursprüngliche reelle Variante des Satzes wurde 1926 () von dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz bewiesen; sein schwedischer Student G. Olof Thorin erweiterte ihn 1936 () dann auf die heutige komplexe Form. Die reelle Variante benötigt eine zusätzliche Restriktion in Form von $p_{k}\leq q_{k}$ für $k=0,1$. Geometrisch gesehen führt dies dazu, dass die dazwischen liegenden Räume, welche mit $L^{p}$ und $L^{q}$ notiert werden, als Punkte $(1/p,1/q)$ in einem unteren Dreieck liegen. Im komplexen hingegen sind die Punkte im Quadrat $[0,1]\times [0,1]$.

Der Satz ist neben dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz eine der Grundlagen der Interpolationstheorie für Operatoren.

Interpolationssatz

Seien $(U,\Sigma _{1},\mu )$ und $(V,\Sigma _{2},\nu )$ zwei σ-endliche Maßräume. Mit $L^{p}(U,\Sigma _{1},\mu )$ bezeichnen wir die $L^{p}$-Räume für komplex-wertige Funktionen und mit $\|T\|_{L^{a},L^{b}}$ die Operatornorm

$\|T\|_{L^{a},L^{b}}=\sup \limits _{f\neq 0}{\frac {\|Tf\|_{L^{b}}}{\|f\|_{L^{a}}}}.$

Wir formulieren nur den komplexen Fall vollständig, da der reelle Fall nur eine kleine Modifikation benötigt.

Komplexer Fall

Seien $p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}\in [1,\infty ]$ mit $p_{0}\neq p_{1}$ und $q_{0}\neq q_{1}$, sowie $\theta \in (0,1)$.

Sei $T$ ein beschränkter linearer Operator, so dass

$T:L^{p_{0}}(U,\Sigma _{1},\mu )+L^{p_{1}}(U,\Sigma _{1},\mu )\to L^{q_{0}}(V,\Sigma _{2},\nu )+L^{q_{1}}(V,\Sigma _{2},\nu )$

mit

$\|T\|_{L^{p_{0}},L^{q_{0}}}=M_{0}\quad$ und $\quad \|T\|_{L^{p_{1}},L^{q_{1}}}=M_{1}.$

Dann ist die Einschränkung

$T:L^{p}(U,\Sigma _{1},\mu )\to L^{q}(V,\Sigma _{2},\nu )$

beschränkt mit Norm

$\|T\|_{L^{p},L^{q}}\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }$

wobei $p$ und $q$ durch

${\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}\quad$ und $\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}$

gegeben sind.

Reeller Fall

Damit die Aussage im reellen Fall auch gilt, muss zusätzlich $p_{0}\leq q_{0}$ und $p_{1}\leq q_{1}$ gelten. Außerdem ändert sich die Abschätzung der Norm auf

$\|T\|_{L^{p},L^{q}}\leq 2M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }.$

Anwendungsbeispiele

• Der Satz kann verwendet werden, um die Faltungsungleichung von Young zu beweisen.

Literatur

• C. Bennett und R. C. Sharpley: Interpolation of Operators. Hrsg.: Elsevier Science. Niederlande 1988. 
• J. Löfström und J. Bergh: Interpolation Spaces: An Introduction. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 1976.