Interpolationssatz von Riesz-Thorin

mathematischer Satz

Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin (oder Konvexitätssatz von Riesz-Thorin) ist ein Resultat aus der Operatortheorie, welches sagt, dass ein linearer Operator, welcher auf zwei Lp-Räumen (für unterschiedliche ) beschränkt ist, auch auf allen -Räumen für dazwischen liegende beschränkt ist. Die Aussage gilt dabei für . Das heißt also, zeigt man das ein Operator zum Beispiel auf und beschränkt ist, so gilt die Aussage nach dem Interpolationssatz auch für mit .

Die ursprüngliche reelle Variante des Satzes wurde 1926 ([1]) von dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz bewiesen; sein schwedischer Student G. Olof Thorin erweiterte ihn 1936 ([2]) dann auf die heutige komplexe Form. Die reelle Variante benötigt eine zusätzliche Restriktion in Form von für . Geometrisch gesehen führt dies dazu, dass die dazwischen liegenden Räume, welche mit und notiert werden, als Punkte in einem unteren Dreieck liegen. Im komplexen hingegen sind die Punkte im Quadrat .

Der Satz ist neben dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz eine der Grundlagen der Interpolationstheorie für Operatoren.

Interpolationssatz

Bearbeiten

Seien   und   zwei σ-endliche Maßräume. Mit   bezeichnen wir die  -Räume für komplex-wertige Funktionen und mit   die Operatornorm

 

Wir formulieren nur den komplexen Fall vollständig, da der reelle Fall nur eine kleine Modifikation benötigt.

Komplexer Fall

Bearbeiten

Seien   mit   und  , sowie  .

Sei   ein beschränkter linearer Operator, so dass

 

mit

  und  

Dann ist die Einschränkung

 

beschränkt mit Norm

 

wobei   und   durch

  und  

gegeben sind.[3]

Reeller Fall

Bearbeiten

Damit die Aussage im reellen Fall auch gilt, muss zusätzlich   und   gelten. Außerdem ändert sich die Abschätzung der Norm auf[4]

 

Anwendungsbeispiele

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten
  • C. Bennett und R. C. Sharpley: Interpolation of Operators. Hrsg.: Elsevier Science. Niederlande 1988.
  • J. Löfström und J. Bergh: Interpolation Spaces: An Introduction. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 1976.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. M. Riesz: Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires. In: Acta Math. Nr. 49, 1926, S. 465–497.
  2. G.O. Thorin: An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. In: K. Fysiogr. Saallskap. i Lund Forh. Band 8, Nr. 14, 1936.
  3. J. Löfström und J. Bergh: Interpolation Spaces: An Introduction. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 1976, S. 2.
  4. C. Bennett und R. C. Sharpley: Interpolation of Operators. Hrsg.: Elsevier Science. Niederlande 1988, S. 196.