Als Intensitätsmaß bezeichnet man in der Mathematik ein Maß, das einem zufälligen Maß zugeordnet wird. Das Intensitätsmaß entspricht dabei dem Erwartungswert des zufälligen Maßes und gibt somit an, welches Volumen das zufällige Maß im Schnitt einer gewissen Menge zuordnet. Das Intensitätsmaß enthält somit wichtige Informationen über das zufällige Maß. So sind beispielsweise Poisson-Prozesse durch die Angabe ihres Intensitätsmaßes bereits eindeutig bestimmt.

Definition

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Gegeben sei ein zufälliges Maß   auf dem Messraum  . Das bedeutet, dass   fast sicher lokal endliche Maße auf   als Werte annimmt.

Dann heißt das Maß   auf  , das durch

 

gegeben ist, das Intensitätsmaß von  .[1] Hierbei ist zu unterscheiden zwischen der Bezeichnung des Intensitätsmaßes als   und der Bildung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable   durch  .

Beispiele

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Bei einem Binomial-Prozess   gegeben durch   und eine Verteilung   gilt per Konstruktion  . Mit den elementaren Eigenschaften der Binomialverteilung folgt dann direkt

 .

Also ist das Intensitätsmaß eines Binomialprozesses gegeben durch

 .

Eigenschaften

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Das Intensitätsmaß   ist stets s-finit und erfüllt

 

für jede positive messbare Funktion auf  .[2]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  2. Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, S. 53, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.