Innere Metrik

In der Mathematik misst die innere Metrik oder Längenmetrik die Längen minimaler Verbindungswege zwischen Punkten.

Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Die zu $d$ assoziierte innere Metrik (oder Längenmetrik) $d_{i}$ ist definiert als

d_{i}(x,y)=\inf L(\sigma )

für $x,y\in X$ , wobei das Infimum über alle rektifizierbaren Kurven $\sigma \colon \left[0,1\right]\to X$ mit $\sigma (0)=x,\sigma (1)=y$ genommen wird und $L(\sigma )$ die durch

L(\sigma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\sigma (t_{i-1}),\sigma (t_{i}){\big )}\,\right|\,0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=1,r\in \mathbb {N} \right\}

definierte Länge der Kurve $\sigma$ ist.

Geodätische metrische Räume

Ein metrischer Raum heißt geodätischer metrischer Raum (auch Längenraum oder innerer metrischer Raum), wenn $d=d_{i}$ ist, also wenn die innere Metrik mit der Metrik $d$ übereinstimmt.

Beispiele

Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $d$ die durch

d(x,y):=\inf\{L(\gamma )\mid \gamma \colon [0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}

für

x,y\in M

definierte Metrik. Wenn

(M,g)

geodätisch vollständig ist, dann ist

d_{i}=d

. (Siehe Satz von Hopf-Rinow.)

Es sei $X=\mathbb {R} ^{n}$ , $d(x,y)=|x-y|$ für $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ und $S^{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon d(x,0)=1\right\}$ . Die Einschränkung von $d$ auf $S^{n-1}$ definiert einen metrischen Raum $(S^{n-1},d{\big |}_{S^{n-1}})$ . Die assoziierte innere Metrik auf $S^{n-1}$ ist

d_{i}(x,y)=\arccos(\langle x,y\rangle )>d(x,y)\ \forall x\not =y

.

Literatur

Bridson, Martin R.; Haefliger, André: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005, 2nd ed. 2014.
Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

Weblinks

Urs Lang: Length spaces.