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Hochzusammengesetzte Zahl

Positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl.

Eine hochzusammengesetzte Zahl (engl. highly composite number, kurz: HCN) ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl. Solche Zahlen sind aufgrund ihrer maximalen Teilbarkeit eine Art Gegenstück zu den Primzahlen.[1] Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan war einer der Ersten, der diese Zahlen und ihre Eigenschaften eingehender untersuchte und 1915 einen umfangreichen Artikel zu ihnen publizierte.

Inhaltsverzeichnis

Die ersten zwanzig hochzusammengesetzten ZahlenBearbeiten

Laufindex   Folge in OEIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 -te hochzusammengesetzte Zahl A002182 1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680 2520 5040 7560
Teileranzahl A002183 1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64

EigenschaftenBearbeiten

AufbauBearbeiten

Zwei notwendige Eigenschaften hochzusammengesetzter Zahlen ergeben sich aus der Teileranzahlfunktion. Wie der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, ist jede positive natürliche Zahl   folgendermaßen aufgebaut:

     und     

wobei   die Primzahlen sind. Die Exponenten   sind dabei von null verschiedene natürliche Zahlen. Für   ergibt sich das leere Produkt  . Die Definition der Teileranzahlfunktion   liefert dann die Anzahl der Teiler für natürliche Zahlen:

 .

Für hochzusammengesetzte Zahlen folgt aus dieser Formel:

  • Die   Primzahlen   sind genau die ersten   Primzahlen, denn jede ausgelassene Primzahl würde es ermöglichen, ein kleineres   mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.
  • Die Folge der Exponenten ist absteigend, es gilt  . Andernfalls wäre es durch Vertauschung von Exponenten möglich, ein kleineres   mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.

Diese beiden Eigenschaften sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend. So muss, ausgenommen   und  , der letzte Exponent   sein.

Beispiel:

  hat   Teiler. Das sind mehr Teiler als bei allen kleineren Zahlen. Also ist   eine hochzusammengesetzte Zahl.

AnwendungenBearbeiten

Die Eigenschaft, möglichst viele Teiler zu haben, bietet praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht. So basiert das Winkelgrad­system zu 360° auf einer hochzusammengesetzten Zahl. Auch die Stunden zu 24, Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Münzsystem Karls des Großen mit der Beziehung ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige oder Denare sind hier zu nennen. In Preußen war von 1821 bis 1873 ein Taler gleich 360 Pfennige.

Entwickelt man eine Skala oder Kreisteilung auf Basis einer hochzusammengesetzten Zahl, so lässt sich diese Skala auf besonders viele verschiedene Arten gleichmäßig teilen.

Ramanujan und hochzusammengesetzte ZahlenBearbeiten

Als einer der ersten Mathematiker beschäftigte sich der Inder S. Ramanujan eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen. Dabei fand er die oben genannte Regel der nicht-ansteigenden Exponenten. Die Regel kann dazu genutzt werden, hochzusammengesetzte Zahlen zu konstruieren. Ramanujan selbst stellte eine Liste von über hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf. Er übersah dabei aber eine einzige, nämlich die Zahl 293.318.625.600.[2] Heute sind Online-Listen mit über hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. „They are as unlike a prime as a number can be.“ – Hardy, nach Robert Kanigal: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. Scribner, New York 1991, Seite 232.
  2. Eric W. Weisstein: Highly Composite Number. In: MathWorld (englisch).