Erneuerungssatz von Blackwell

Satz aus der Stochastik

Der Erneuerungssatz von Blackwell ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, genauer aus der Erneuerungstheorie, einem Teilgebiet der Theorie der stochastischen Prozesse, und trifft eine Aussage über die erwartete Anzahl von Erneuerungen innerhalb eines Zeitintervalls. Er geht auf David Blackwell zurück und stammt aus dem Jahre 1948.[1]

Hintergrund und Definitionen

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In der Erneuerungstheorie geht man von einer Folge   unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen   mit Werten in   aus, die man als Zeitspannen interpretiert, sogenannte Erneuerungszyklen.   könnte die Funktionsdauer eines  -ten Maschinenteils sein, an deren Ende dieses Maschinenteil erneut ersetzt werden muss. Man interessiert sich dann für die Zufallsgrößen

 ,

das heißt für die Anzahl der Erneuerungen bis zum Zeitpunkt  , bzw. für

 ,

das heißt für den Erwartungswert dieser Anzahl. Man nennt den stochastischen Prozess   einen Erneuerungsprozess und   seine Mittelwertfunktion.

Der hier zu besprechende Erneuerungssatz von Blackwell trifft eine Aussage über das Verhalten von   für  , also über die erwartete Anzahl von Erneuerungen in einem Zeitintervall der Länge   für gegen unendlich strebende Beginnzeiten dieser Intervalle.

Zur Formulierung des Satzes ist eine technische Besonderheit zu beachten. Man spricht von einem arithmetischen Erneuerungsprozess, wenn die Werte der Erneuerungszyklen nur ganzzahlige Vielfache einer festen Zeit   sind, und die größte reelle Zahl   mit dieser Eigenschaft heißt Spanne des arithmetischen Erneuerungsprozesses. Anderenfalls spricht man von einem nicht-arithmetischen Erneuerungsprozess.

Formulierung des Satzes

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Es liege ein Erneuerungsprozess   vor,   sei der gemeinsame Erwartungswert der zugehörigen Erneuerungszyklen. Für die Mittelwertfunktion   gilt[2][3]

  • im nicht-arithmetischen Fall für alle  
 
  • im arithmetischen Fall mit Spanne  
 

Bemerkungen

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Der Satz ist intuitiv sofort klar. Wenn ein Erneuerungszyklus im Mittel   dauert, dann erwartet man in einem Intervall der Länge   im Durchschnitt   Erneuerungen. Setzt man im nicht-arithmetischen Fall  , so wird die rechte Seite 1 und man erhält die ebenfalls sehr plausible Aussage, dass in einem Zeitintervall durchschnittlicher Zyklusdauer im Mittel eine Erneuerung zu erwarten ist. Das Bemerkenswerte am Erneuerungssatz von Blackwell ist daher nicht der Wert, sondern die Existenz des Grenzwertes.

Die Einschränkung im arithmetischen Fall ist notwendig, denn für   hat man immer wieder  . Da dann zwischen   und   mit Sicherheit keine Erneuerung stattfindet, ist  , und zwar immer wieder für wachsendes  , das heißt der Limes inferior dieser Differenz für   ist 0. Daher kann die im nicht-arithmetischen Fall getroffene Grenzwertaussage hier nicht gelten. Die Grenzwertaussage im arithmetischen Fall kann aber noch zu

  für alle  

verallgemeinert werden. Das folgt sehr leicht durch Übergang zur Teleskopsumme, denn dann erhält man eine  -fache Summe von Grenzwerten mit Limes  .

Bringt man im nicht-arithmetischen Fall das   auf die linke Seite, so erhält man

  für alle  .

Da die rechte Seite nicht mehr von   abhängt, existiert der Limes der linken Seite für  . Es ist ein Fehler, hieraus auf die Differenzierbarkeit von   für große   zu schließen, denn die Grenzwertbildungen   und   können nicht vertauscht werden.

Einzelnachweise

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  1. D. Blackwell: A renewal theorem. In: Duke Math. Journal. Band 15 (1948), S. 145–150.
  2. R. Serfozo: Basics of Applied Stochastic Processes. Springer Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-89332-5, Kapitel 2.6: Blackwells Theorem. Theorem 33.
  3. R. G. Gallager: Stochastic Processes, Theory for Applications. Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Theorem 5.6.3, ohne Beweis, aber mit Erläuterungen.