Erdős-Straus-Vermutung

Die zahlentheoretische Erdős-Straus-Vermutung (nach den Mathematikern Paul Erdős und Ernst Gabor Straus) besagt, dass stets einer Summe von drei positiven Stammbrüchen entspricht. Sie wurde im Jahr 1948 aufgestellt und ist eine von vielen Vermutungen von Paul Erdős.[1][2]

Die VermutungBearbeiten

Die Gleichung   besitzt für jedes natürliche   eine Lösung, wobei  ,   und   ebenfalls natürliche Zahlen sind.
Es ist unmittelbar klar, dass vier Stammbrüche immer reichen (man wähle für die Summanden viermal  ). Die Vermutung entspricht der nächstkleineren Anzahl von Stammbruch-Summanden.

Es gibt zwei Auffassungen, wie man eine solche Darstellung als Summe von drei Stammbrüche verstehen kann. Man kann der Meinung sein, dass es egal ist, ob gewisse Nenner der einzelnen Stammbrüche gleich sind, man kann aber auch der Meinung sein, dass es nicht egal ist, ob gewisse Nenner der Stammbrüche gleich sind. Es macht aber für die Erdős-Straus-Vermutung für   keinen Unterschied, ob gleiche Nenner erlaubt sind oder nicht:

Wenn es irgendeine Darstellung von   mit drei Stammbrüchen gibt, egal, ob gewisse Nenner gleich sind oder nicht, dann gibt es auf jeden Fall auch eine Darstellung mit verschiedenen Nennern. Man kann zwei Stammbrüche mit gleichen Nennern immer in zwei Stammbrüche mit unterschiedlichen Nennern umformen:[3][4]
  wenn der Nenner eine gerade Zahl ist
  wenn der Nenner eine ungerade Zahl ist
Man kann also zwei Stammbrüche mit gleichem Nenner in zwei Stammbrüche mit zwei verschiedenen Nennern umformen. Sollte man dadurch abermals zwei gleiche Nenner (gemeinsam mit dem Nenner des dritten Stammbruchs) erhalten, wiederholt man diese Umformung so lange, bis man drei Stammbrüche mit drei verschiedenen Nennern hat.

Geometrische InterpretationBearbeiten

Die geometrische Interpretation der Erdős-Straus-Vermutung liefert für jedes natürliche   einen Quader mit den Kantenlängen  ,   und   ( ,   und   natürliche Zahlen), so dass dessen 8-faches Volumen geteilt durch dessen Oberfläche den Wert von   Längeneinheiten ergibt.

BeispieleBearbeiten

  • Falls eine Darstellung von   mit   durch drei Stammbrüche existiert, gibt es auf jeden Fall mindestens eine Darstellung von   als Summe von 3 Stammbrüchen mit verschiedenen Nennern. Für den Fall   gibt es allerdings nur eine einzige Lösung, nämlich
 
In diesem Fall gibt es keine Möglichkeit, verschiedene Nenner zu erhalten. In allen anderen Fällen ordnet man üblicherweise die Stammbrüche nach der Größe ihres Nenners, sodass   gilt.
  • Für die beiden Fälle   bzw.   gibt es jeweils nur eine einzige Lösung, nämlich
  und  
  • Es gibt mitunter auch mehrere Lösungen dieses Problems, wie zum Beispiel für  , für welches es zwei Lösungen gibt:
 
  • Die nächste Zahlenfolge gibt an, wie viele Darstellungsmöglichkeiten es für   in der Form   mit   gibt (mit aufsteigendem  )
0, 0, 1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, 30, 25, 22, 19, 45, 10, 17, 25, 36, 7, 72, 17, 62, 27, 22, 59, 69, 9, 29, 67, 84, 7, … (Folge A073101 in OEIS)
Beispiel 1:
An der n = 8. Stelle dieser Liste steht 6. Das bedeutet, dass es 6 Möglichkeiten gibt, den Bruch   mit drei Stammbrüchen darzustellen. Im Speziellen sind es die folgenden:
 
(Anmerkung: ein guter Online-Stammbruch-Rechner für kleine   ist auf [5] zu finden)
Beispiel 2:
Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, einen Bruch   als Summe dreier Stammbrüche darzustellen, kann (im Verhältnis zu  ) sehr hoch, aber auch recht niedrig werden. Zum Beispiel kann der Bruch   (also für  ) auf genau 4914 verschiedene Arten als Summe dreier Stammbrüche dargestellt werden. Hingegen kann der Bruch   (also für  ) auf nur 27 verschiedene Arten als Summe dreier Stammbrüche dargestellt werden.

BemerkungenBearbeiten

  • Multipliziert man die Gleichung   mit   (bringt man also die Nenner weg), so erhält man die folgende diophantische Gleichung:
 
Aufgrund der Tatsache, dass man es somit mit einer diophantische Gleichung zu tun hat, kann man das in der Zahlentheorie beliebte Lokal-Global-Prinzip anwenden: es kann aus der Lösbarkeit dieser diophantischen Gleichung modulo aller Primzahlen auf die Lösbarkeit der ursprünglichen Gleichung geschlossen werden.
  • Für alle   mit natürlichem   ist die Behauptung leicht mit   nachzuweisen:
 
  • Auch der etwas allgemeinere Fall   mit natürlichem   ist sehr einfach mit   und   zu lösen:
 .
  • Um die Erdős-Straus-Vermutung zu lösen, reicht es aus, wenn man statt   nur Brüche der Form   mit primen   untersucht. Man kann die Erdős-Straus-Vermutung somit auf folgende Vermutung herunterbrechen:[6][7]
Die Gleichung   besitzt für jede Primzahl  ,  , eine Lösung, wobei  ,   und   natürliche Zahlen sind.
  • Wenn die Gleichung   mit paarweise verschiedenen   keine ganzzahlige Lösung besitzt, dann gilt für jeden Primteiler   von  :[8]
 
und daher gilt weiters:
 
Daraus folgt außerdem, dass es für alle   immer eine Lösung der Gleichung gibt. Für diesen Fall ist die Erdős-Straus-Vermutung somit gelöst.
  • Sollte es tatsächlich ein Gegenbeispiel zur Erdős-Straus-Vermutung geben (wenn es also eine Bruchzahl   gibt, die nicht durch drei verschiedene Stammbrüche darstellbar ist), so muss dieses   eine der folgenden sechs Kongruenzen erfüllen:[9][10][11]
 
 
 
 
 
 
Die ersten beiden Primzahlen (und nur diese muss man abtesten, wie weiter oben schon erwähnt wurde), die eine der obigen sechs Kongruenzen erfüllen, sind   und  . Man kann erkennen, dass man relativ schnell recht hohe Werte für   erhält und man bei weitem nicht alle   durchtesten muss.
In [9] sind noch weitere, genauere Kongruenzbedingungen für   angegeben.
  • Allan Swett zeigte im Jahr 1999, dass die Erdős-Straus-Vermutung bis   gilt. Serge E. Salez erweiterte diese Obergrenze im Jahr 2014 auf  .[12]

Zerlegung in drei nicht notwendigerweise positive StammbrücheBearbeiten

In der Einleitung wird erwähnt, dass es notwendig ist, dass die drei Stammbrüche, in die   zerlegt werden soll, positiv sein müssen. Wenn auch negative Stammbrüche erlaubt sind, kann man jede Bruchzahl der Form   in drei Stammbrüche zerlegen und die Vermutung wäre keine Vermutung mehr, sondern ein bewiesener mathematischer Satz. Sind negative Stammbrüche erlaubt, so gibt es zumindest zwei triviale Darstellungsmöglichkeiten für ungerade   (für gerade   wurde diese Vermutung schon im vorigen Abschnitt bewiesen):

Fall 1:  
 
Fall 2:  
 

Als Variante für ungerade   gibt es auch die folgende Darstellung in drei Stammbrüche, bei der allerdings immer eine negativ ist:[13]

 

Mini-Erdős-Straus-VermutungBearbeiten

  • Eine Variante der Erdős-Straus-Vermutung ist die Mini-Erdős-Straus-Vermutung:
Die Gleichung   besitzt für jedes natürliche   eine Lösung, wobei   und   natürliche Zahlen sind.

Diese Vermutung ist falsch, da für die Gleichung   genau dann keine Lösung für natürliche   und   existiert, wenn alle Primfaktoren von   die Form   haben.[14][15]

VerallgemeinerungenBearbeiten

Es folgen zwei Vermutungen, welche die Erdős-Straus-Vermutung ergänzen bzw. verallgemeinern:

Es existiert eine Zahl  , sodass die Gleichung   für alle natürlichen   gelöst werden kann.
Mit anderen Worten: Ab einem gewissen   können alle Brüche der Form   durch drei Stammbrüche dargestellt werden.
Für jede gegebene natürliche Zahl   gibt es ein  , sodass die Gleichung   für alle natürlichen   gelöst werden kann.
Mit anderen Worten: Ab einem gewissen   können zu jedem   alle Brüche der Form   durch drei Stammbrüche dargestellt werden.

WeblinksBearbeiten

  • Gerd Hofmeister, Peter Stoll: Note on Egyptian fractions. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 9. Januar 1985, S. 141–145, abgerufen am 7. Januar 2020.
  • Jamel Ghannouchi: The Erdos conjecture The proof. International Journal of Science and Research, 19. Januar 2015, S. 3, abgerufen am 6. Januar 2020.
  • Eric W. Weisstein: Erdős-Straus Conjecture. Wolfram MathWorld, abgerufen am 6. Januar 2020.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Paul Erdős: Az 1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn = a/b egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine Equation). S. 210. Mat. Lapok. 1, 1950, S. 192–210, abgerufen am 5. Januar 2020 (ungarisch).
  2. Christian Elsholtz: Sums of k unit fractions. Conjecture 1, hier wird behauptet, dass diese Vermutung im Jahr 1948 erstmals aufgestellt wurde. Transactions of the American Mathematical Society 353 (8), 12. April 2001, S. 3209–3227, abgerufen am 5. Januar 2020.
  3. Algorithms for Egyptian Fractions – Theorem
  4. Tanzô Takenouchi: On an Indeterminate Equation. Abschnitt (III), Solutions in which two x’s are equal auf Seite 80. Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan (3rd ser.) 3, 3. April 1921, S. 78–92, abgerufen am 5. Januar 2020.
  5. Stammbruchrechner von Arndt Brünner
  6. J. W. Sander: On 4/n = 1/x + 1/y + 1/z and Iwaniec’ Half Dimensional Sieve. Journal of Number Theory 46 (2), Februar 1994, S. 123–136, abgerufen am 5. Januar 2020.
  7. Erdős-Straus conjecture. Mathematics, abgerufen am 5. Januar 2020.
  8. Konstantine Zelator: An ancient Egyptian problem: The diophantine equation 4/n = 1/x + 1/y + 1/z, n ≥ 2. Theorem 2. Dezember 2009, S. 1–9, abgerufen am 5. Januar 2020.
  9. a b Eugen J. Ionascu, Andrew Wilson: On the Erdös-Straus Conjecture. Theorem 2–4 auf S. 24ff. Columbus State University, 2010, S. 21–30, abgerufen am 7. Januar 2020.
  10. Maria Monks, Ameya Velingker: On the Erdös–Straus Conjecture: Properties of Solutions to its Underlying Diophantine Equation. S. 1 unten. S. 1–21, abgerufen am 8. Januar 2020.
  11. Louis J. Mordell: Diophantine Equations, Academic Press, 1967, S. 287–290
  12. Serge E. Salez: The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to N = 1017. 24. Juni 2014, S. 1–13, abgerufen am 5. Januar 2020.
  13. John H. Jaroma: On expanding 4/n into three Egyptian fractions. Crux Mathematicorum 30 (1), 2004, S. 36–37, abgerufen am 5. Januar 2020.
  14. Hans Humenberger: Egyptian fractions – Representations as sums of unit fractions. Abschnitt 3.3 auf Seite 275f. Mathematics and Computer Education, S. 268–283, abgerufen am 5. Januar 2020.
  15. Algorithms for Egyptian Fractions, Beweis von Theorem nach Numerator 3
  16. Wacław Sierpiński: Sur les décompositions de nombres rationnels en fractions primaires, Mathesis 65, 1956, S. 16–32
  17. a b Ji Hoon Chun: Egyptian fractions, Sylvester’s sequence, and the Erdős-Straus conjecture. Abschnitt 1.6 auf S. 6. 1. August 2011, S. 1–7, abgerufen am 8. Januar 2020.
  18. R. C. Vaughan: On a problem of Erdős, Straus and Schinzel, Mathematika 17 (02), 1970, S. 193–198