Durchmesserstarrheit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet Durchmesserstarrheit oder Cheng's Durchmesserstarrheitssatz eine Eigenschaft riemannscher Mannigfaltigkeiten mit maximal möglichem Durchmesser bei gegebenen Krümmungsschranken.

Es sei $(M,g)$ eine $n$-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung $Ric\geq (n-1)kg$ mit $k>0$. (Diese Bedingung ist zum Beispiel erfüllt, wenn die Schnittkrümmung mindestens $k$ ist.) Nach dem Satz von Myers ist dann der Durchmesser von $M$ höchstens ${\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$.

Der Durchmesserstarrheitssatz von Cheng besagt dann:

Wenn der Durchmesser von $M$ gleich ${\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ ist, dann ist $M$ eine Sphäre konstanter Schnittkrümmung.

Literatur

• Shiu-Yuen Cheng: Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications. Math. Z. 143, 289–297 (1975).