Diskussion:Ring (Mengensystem)

Wer Lust hat kann gerne noch ein paar Beispiele hinzufügen. Ich hab mich bezüglich der Notation der Grundmenge für die aus dem Elstrodt entschieden und nicht für die mit Omega, da beim Ring der Zusammenhang zu Stochastik nicht soo wichtig ist.Wer will kann es aber gerne ändern. Gruß Azrael. 21:40, 5. Mai 2007 (CEST)

Kleinster möglicher Ring

Inwiefern ist $\{\emptyset ,{\mathcal {X}}\}$ der kleinste mögliche Ring? Immerhin ist nach der Definition auch $\{\emptyset \}$ ein Ring. Außerdem sollte man in der Definition verlangen, dass ${\mathcal {R}}$ eine nichtleere Teilmenge von ${\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ ist. --Drizzd 14:16, 15. Mai 2007 (CEST)

Warum soll denn nicht auch $\emptyset \subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ ein Ring sein dürfen? – Markus Prokott 04:23, 23. Jul. 2007 (CEST)

Weil in der Definition eine NICHTLEERE Teilmenge ${\mathcal {R}}$ von ${\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ gefordert wird, aber $\emptyset$ die leere Menge ist. Im gegensatz zum Ring $\{\emptyset \}$, der immerhin eine Menge enthält-die leere Menge und somit nicht leer ist. Ich hoffe man kann dem folgen :) Drizzd hat auf jedenfall recht-vielen Dank für die Korrektur. Gruß Azrael. 11:17, 23. Jul. 2007 (CEST)

Wäre die leere Menge nicht enthalten, so könnte man den Mengen-Ring nicht mehr als algebraischen Ring auffassen, da er kein neutrales Element besitzt. Man interpretiert dazu die Bildung der symmetrischen Differenz als Addition und die Durschnittsbildung als Multiplikation. --Drizzd 19:18, 24. Jul. 2007 (CEST)

@Azrael: Ich habe ja gerade deshalb gefragt, weil in einer älteren Artikelversion die Nichtleerheit noch nicht gefordert wurde. Die anderen Teile der Definition funktionieren dann trotzdem (sieht mir jedenfalls so aus), der einzige Unterschied wäre, dass eben auch die leere Menge ein Ring wäre. Was zunächst mal nicht problematisch erscheint.

@Drizzd: Das ist das was ich wissen wollte. Dann macht's natürlich augenscheinlich keinen Sinn, die leere Menge als Ring zuzulassen. Ich finde, dass sollte man irgendwo im Artikel vermerken. Ansonsten scheint die Forderung der Nichtleerheit auf den ersten Blick ziemlich unmotiviert. Dass das Sinn macht, würde nur dann sofort ersichtlich, wenn man als Definition gleich die algebraische mit den Verküpfungen Durchschnitt und sym. Differenz zugrundelegt. Es sollte sowieso klar gemacht werden, dass das hier nur eine spezielle Form des gewöhnlichen Ringes ist und nur aus praktischen Gründen statt der eigentichen Ring-Verknüpfungen zwei andere Verknüpfungen betrachtet werden.

@ll: Was meint ihr zu diesen inhaltlichen Ideen für den Artikel? – Markus Prokott 20:29, 24. Jul. 2007 (CEST)

Da ich dieses Semester die erste Vorlesung Maßtheorie höre, würd ich mich in Zweifeln am liebsten an die beiden genannten Bücher halten... Der Elstrodt gibt dir bei deiner Vermutung recht, die Leere Menge wird als Teilmenge gefordert, damit es in dem Ring im Sinne der Algebra ein neutrales Element gibt. Im Elstrodt steht auch noch eine interessante Anmerkung zu den Unterschiedlich gebrauchten Begriffen Ring und Algebra... Ich weiß nicht genau was du ändern möchtest, aber was den Artikelaufbau angeht: es wurd im Portal Mathematik vorgeschlagen bei Gelegenheit Halbring, Ring, Algebra und sigma Algebra in einem Artikel Mengensysteme (oder wie auch immer er heißen soll) zusammenzufügen, wodurch dann auch die Bedeutung der einzelnen Begriffe für die Maßtheorie etwas deutlicher wird. Gruß Azrael. 21:08, 24. Jul. 2007 (CEST)

Ich würde nur zwei kleine Ergänzungen vorschlagen. Nämlich:

1. dass erwähnt wird, dass die Nichtleerheit aus dem Zusammenhang mit dem algebraischen Ring motiviert ist (also im Grunde das, was in der Antwort von Drizzd steht);
2. und dass erwähnt wird, dass der eigentliche Grundbegriff der dem Mengen-Ring zugrundeliegt, tatsächlich der Algebra-Ring ist, und der Mengen-Ring einen Aspekt eines Spezialfalles desselben darstellt (weil man nicht die eigentlichen Algebra-Ring-Verknüpfungen betrachtet) und nicht etwa die Namen nur zufällig, etwa aus historischen Gründen, übereinstimmen. (Derlei gibt's ja z.B. bei Algebra (math. Teilgebiet) und Algebra (math. Objekt) oder bei Klasse (Untermenge) und Klasse (mengentheoret. Konstrukt).)

– Markus Prokott 21:54, 26. Jul. 2007 (CEST)

Sei mutig. Es bringt nichts, über etwas zu diskutieren, was niemand umsetzt. --Drizzd 23:53, 26. Jul. 2007 (CEST)

Naja, ich wollte halt erstmal Meinungen dazu hören. Offensichtlich ist dieser Artikel ja doch schon stärker umdiskutiert und andere sind tiefer in der Diskussion drin als ich. Vielleicht spreche ich hier ja Dinge an, die schon längst und mit anderem Ergebnis ausdiskutiert worden sind oder die bei übersensibilisierten Leuten Widerstand provozieren. – Da das aber in diesem Fall wohl nicht so ist, kann ich's ja mal demnächst ändern.

– Markus Prokott 00:10, 27. Jul. 2007 (CEST)

Hierzu noch eine Frage: Ist der Begriff „algebraischer Ring“ eigentlich gebräuchlich. Ich fände (wegen der irreführenden Polyhomonymie des Wortes Algebra und seiner Ableitungen) einen Ausdruck wie „allgemeiner“ oder „gewöhnlicher Ring“ besser. Im Artikel wird über den Begriff auf Ringtheorie verwiesen, dort wird keinmal der Begriff algebraischer Ring erwähnt. Ich weiß natürlich das damit ein Ring i. S. d. Algebra (als Teilgebiet der Mathematik) gemeint ist, der Begriff hört sich aber auf den ersten Blick ziemlich wie algebraisches Element oder algebraische Erweiterung an und dort wird algebraisch eher in anderem Sinne gebraucht und ein algebraisches Element ist auch nicht im Kontrast etwa zu einem Mengenelement zu verstehen.

Ich frage nicht, weil ich mutlos bin, sondern weil der Begriff sich zwar einerseits irreführend, andererseits aber auch irgendwie amtlich anhört.

– Markus Prokott 00:28, 27. Jul. 2007 (CEST)

Also was die Begriffe angeht bin ich mir auch nicht so sicher, aber in den Vorlesungen bei uns und in den Büchern wurde immer nur von dem Ring und der Algebra gesprochen und die analogen Begriffe in anderen Teilgebieten ignoriert. Ich hatte nur die Formulierung "im Sinne der Algebra" verwendet damit es zu keinen Verwechslungen kommt, ob dieser Begriff überhaupt so verwendet wird weiß ich nicht.

Was änderungen des Artikels angeht, würd ich sagen das sie eigentlich nur eine Verbesserung des Artikels bedeuten würden. Also nur zu. Das Einzige woran du denken solltest, dass irgendwann die ganzen Mengensystem Artikel zusammengelegt werden sollen und es passieren kann, dass wir vieleicht irgendwas doppelt machen. (Leider hab ich wegen Prüfungenim Moment keine Zeit das zu machen...) Gruß Azrael. 13:01, 27. Jul. 2007 (CEST)

Mir ist algebraischer Ring nicht geläufig. Ring im Sinne der Algebra wäre wohl die unmissverständlichere Formulierung, und wenn man sie dann noch zu Ringtheorie verlinkt, sollte alles klar sein. --Drizzd 15:08, 27. Jul. 2007 (CEST)

Gut, dann hat mich mein Gefühl doch nicht getrogen. Finde die Formulierung „…im Sinne der Algebra“ auch die Beste. Stimme auch ausdrücklich zu, dass in diesem Artikel eine solche Unterscheidungsformulierung angezeigt ist, da es sonst zu Verwechslungen zwischen Mengenring und Ring i. S. d. Algebra und vielleicht sogar noch dem i. S. d. Algebra interpretierter Mengenring (d. h. der Mengenring, wenn man ihn i. Verb. m. den anderen beiden Verknüpfungen als Ring i. S. d. Algebra betrachtet) kommen würde.

Ich persönlich bin ja sprachlich sehr experimentierfreudig und neige stark zu Neologismen. Daher – wenn's nach mir ginge – würde ich ja als Adjektiv für i.S.d. Algebra, da algebraisch bereits belegt ist, algebra l i c h  wählen. Leider geht das hier nicht, da das als Theoriefindung unangebracht wäre. Aber vielleicht mal als Vorschlag für alle anderen, die mal irgendwann ein passendes Wort suchen, wo sie dieses hier benutzen dürften.

Vielen Dank erstmal für eure Antworten. Denke ich werde das mal einarbeiten. – Markus Prokott 18:25, 27. Jul. 2007 (CEST)

Deine Darstellung des Mengenrings als Tripel gefällt mir leider gar nicht. Du erweckst den Eindruck, als wären Vereinigung $\cup$ und Differenz $\setminus$ zwei beliebige Operationen, was aber nicht der Fall ist. Es handelt sich dabei genau um die Vereinigung und Differenz im Sinne der Mengenlehre. Deshalb ist es auch nicht notwendig, diese Operationen in einem Tripel dem Mengen-Ring zuzuordnen. Außerdem ist diese Darstellung irreführend, weil man sie mit der eines Rings verwechseln kann. --Drizzd 11:06, 28. Jul. 2007 (CEST)

Ich habe die Bemerkung, dass die Nichtleerheit notwendig ist, um die Ringaxiome zu erfüllen, wieder herausgenommen. Ich denke diese Tatsache wird durch die Ausführungen zum "Ring im Sinne der Algebra" ohnehin klar, und bedarf keiner besonderen Erwähnung. Außerdem kann ich nicht mit Sicherheit sagen, dass die Nichtleerheit nur für die Kompatibilität zur allgemeinen Ringdefinition gefordert wird. Ein leeres Mengensystem stellt einfach einen Spezialfall dar, der auch in der Maßtheorie an vielen Stellen zusätzlich zu berücksichtigen wäre, obwohl man dort gar keine Ringeigenschaften benutzt. --Drizzd 11:11, 29. Jul. 2007 (CEST)

Fühle mich ja ein bisschen verarscht: Das mit der Nichtleerheit habe ich doch hier angefragt / angekündigt und namentlich Drizzd entgegnete mir dazu: „Sei mutig.“ Wundert mich ja, dass das keiner mal moniert hat. Habe es wieder eingefügt, aber wesentlich neutraler. Ich weiß nicht wieso, aber bei mathematischen Artikeln neige ich im ersten Anlauf oft zu teils übermäßig langen, teils übermäßig subjektiven Ausführungen. Ist wohl irgendein Wahrnehmungsfehler bei mir, krieg ich nicht besser hin, sorry.

Die Tripel-Schreibweise war allerdings an sich kein Problem. Vielmehr ist sie heutzutage Standard in der Mathematik, deshalb habe ich sie auch wiedereingefügt. Der Einwand, ich erwecke den Eindruck, als wären Vereinigung und Differenz zwei beliebige Operationen, ist leider jedoch zutreffend. Dieser Eindruck wurde aber lediglich von dem Satz: „Weiter seien $\cup$ und $\setminus$ (Vereinigung und Differenz) zwei innere Verknüpfungen auf ${\mathcal {R}}$.“ erweckt. So ein Eindruck darf natürlich nicht erweckt werden, weswegen ich den Satz nicht wiedereingefügt habe.

Habe auch die früheren Besonderen Eigenschaften wieder unter einem eigenen Punkt Eigenschaften subsummiert. Bemerkungen zur Definition sollen nur Dinge sein, die mögliche Unklarheiten in der Definition beseitigen, Verwirrungen auflösen oder die Definition motivieren können. Die ehem. besonderen Eigenschaften, die da jetzt standen, sind jedoch schon Folgerungen aus der Definition. Ich weiß, diese Trennung ist nicht ganz scharf, aber ich hoffe, ich konnte mich verständlich machen. Die Bemerkungen zur Definition stehen soz. im zeitlichen Ablauf vor der vollständigen Verarbeitung / Akzeptanz der Definition, während die Eigenschaften nach der Akzeptanz und bereits im Rahmen der Anwendung stehen.

Sorry, dass es so lange gedauert hat mit meiner Reaktion, war im Umzugsstress und wollte erst etwas mehr Ruhe und Zeit dafür haben.

Gruß – Markus Prokott 02:47, 13. Aug. 2007 (CEST)

Lieber Markus, ich wollte Dich keineswegs verarschen. Ich denke, dass Deine Beiträge sehr wertvoll sind und den Artikel bereits in mancher Hinsicht verbessert haben, obwohl ich einige Deiner Änderungen korrigiert oder sogar rückgängig gemacht habe.

Zur Sache: Dass man den Mengenring auch als Ring im algebraischen Sinne auffassen kann ist zwar nett, aber diese Tatsache hat für die Anwendung (die meines Wissens hauptsächlich in der Maßtheorie liegt) wenig Bedeutung. Da wir bereits einen eigenen Abschnitt zu diesem Thema haben, der sogar erwähnt, dass die leere Menge das neutrale Element ist, ist damit meines Erachtens mehr als genug gesagt. Es ist nicht besonders sinnvoll, wenn sich die Hälfte des Artikels um so unwichtige Dinge wie z.B. die Nichtleerheit dreht. Wenn Du nichtsdestotrotz unbedingt erwähnen willst, dass die Nichtleerheit für die Existenz des neutralen Elements notwendig ist, dann mach' das bitte auch im Abschnitt zum Ring im algebraischen Sinne, denn nur dort ist das von Interesse. Generell kann es nicht Aufgabe der Bemerkungen zur Definition sein, zu erklären, warum man etwas so oder so definiert. Das hat viel zu oft unwesentliche historische oder praktische Gründe.

Mit der Tripel-Schreibweise habe ich nach wie vor das größte Problem. Ich habe die Tripelschreibweise bisher immer nur dann gesehen, wenn man für die einzelnen Stellen des Tripels beliebige Objekte mit bestimmten Eigenschaften einsetzt, wie z.B. beim Ring Verknüpfungen, die die Ringaxiome erfüllen. So ähnlich sieht derzeit auch die Definition des Mengenrings aus, obwohl hier etwas ganz anderes gemeint ist. Ich habe diese Schreibweise so auch noch in keiner Literatur gesehen, also wenn Du behauptest, dass sie in der Mathematik Standard sei, dann würde mich sehr interessieren, wo Du das so gelesen hast.

Zu guter letzt ist Deine Ausdruckweise manchmal nicht sehr exakt. Wenn Du beispielsweise schreibst Wegen der Forderung, dass R nichtleer sein soll, lässt sich jeder Mengenring als Ring im Sinne der Algebra darstellen., dann klingt das so, als wäre die Nichtleerheit hinreichend, dabei ist sie notwendig und nicht hinreichend. Richtig wäre Damit sich der Mengenring als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, muss R nichtleer gefordert werden. Weiter schreibst Du Der leeren Menge würde als Ring im Sinne der Algebra das Nullelement fehlen.. Einerseits ist hier der Konjunktiv überflüssig, und andererseits ist "fehlen" ein sehr vaager Begriff. Warum fehlt es denn? Schöner wäre Die leere Menge erfüllt zwar bis auf Nichtleerheit alle Bedingungen für einen Mengenring, sie enthält jedoch kein neutrales Element und ist daher kein Ring im Sinne der Algebra.

Ich hoffe damit sind meine Einwände klarer geworden. --Drizzd 15:33, 13. Aug. 2007 (CEST)

Ok, gehen wir erstmal die kleineren Probleme an:

Gebe dir Recht: Ist besser, alles, was sich um den Ring im Sinne der Algebra dreht, in dem entsprechenden Abschnitt zu konzentrieren und nicht überall im Text verteilt einzuflechten. Denke, der ganze Abschnitt Bemerkungen zur Definition wird damit hinfällig (unabhängig davon, ob die Bemerkung zur Tripelschreibweise noch irgendwo hin müsste). Das mit der Nichtleerheit würde ich jedoch aus den bereits früher genannten Gründen gerne irgendwo bzw. im entsprechenden Abschnitt erwähnt haben.

Ich finde allerdings, die Aufgabe der Bemerkungen zur Definition ist, zwar nicht nur, aber durchaus, „zu erklären, warum man etwas so oder so definiert“. Das fällt dann unter das Stichwort Motivation. So etwas ist selbst in Fachbüchern durchaus üblich und sollte daher erst recht in einer Enzyklopädie relevant sein, die ja das Wissen der Allgemeinheit und nicht nur dem Fachpublikum verständlich machen will. Ich glaube, weil solche Elemente in den meisten Mathe-Artikeln fehlen, kommt es zu diesen typischen Mathe-Artikeln, die kein Laie versteht.

Was du zu meiner Ausdrucksweise schreibst, fällt mir allerdings wirklich sehr schwer zu verstehen. Darüber hinaus war es so, dass ich den Artikel an vielen Stellen unexakt fand. Z.B. fehlte im Abschnitt Definition, dass Ω eine beliebige Menge ist, ähnliche Mängel fanden sich im Abschnitt zu den äquivalenten Definitionen.

Warum ist den die Forderung der Nichtleerheit nicht hinreichend?

• Damit man jeden Mengenring als Ring iSdA darstellen kann, muss man die ${\mathcal {R}}=\emptyset$ ausschließen. Also ist diese Forderung notwendig.

• Schließt man ${\mathcal {R}}=\emptyset$ aus, so kann man jeden Mengenring als Ring iSdA darstellen. Also ist die Forderung auch hinreichend.

Im Übrigen sehe ich nicht, wieso jetzt das Wort fehlen eine vaager Begriff ist. Das Nullelement „fehlt“ halt in dem Ring-Kandidaten ${\mathcal {R}}=\emptyset$, es ist einfach nicht da, nicht anwesend, nicht enthalten. Ich schätze mal, wir beide haben einfach erheblich unterschiedliche Sprachgewohnheiten. Da ich deinen Satz: „Die leere Menge erfüllt zwar bis auf Nichtleerheit alle Bedingungen für einen Mengenring, sie enthält jedoch kein neutrales Element und ist daher kein Ring im Sinne der Algebra.“ aber auch sehr schön finde, können wir uns gerne auf ihn einigen. Vielleicht meinst du aber mit „nicht exakt“ auch „nicht ausführlich genug“. Ich hatte nämlich angesichts deiner Änderungen an meiner vorigen Version das Gefühl, ich wäre dir auch an einigen Stellen zu ausführlich gewesen. Darum habe ich mich bemüht, mich möglichst kurz zu fassen. Wäre schon witzig, wenn gerade das dir nicht gefiehl.

Das mit dem Konjunktiv ist meiner Ansicht nach auch eher Geschmackssache. Den Präsens in deiner Formulierung kann man mit gleichem Recht als „überflüssig“ beschreiben. Für mich stand dahinter in Etwa die Meta-Formulierung:

„Wegen der Forderung, dass ${\mathcal {R}}$ nichtleer sein soll, lässt sich jeder Mengenring als Ring im Sinne der Algebra darstellen.“ Würde man diese Forderung weglassen, „Der leeren Menge würde als Ring im Sinne der Algebra das Nullelement fehlen.“

Von meinem Sprachgefühl her, würde ich zur Formulierung dieser Aussage stets den Kunjunktiv wählen, aber, wie gesagt, dein Satz ist für mich ok, er drückt die generelle Gesetzmäßigkeit der getroffenen Aussagen mehr aus.

(Hier erstmal Pause. Gehe mal kurz einkaufen, danach werde ich auf das Tripel-Problem eingehen.)

– Markus Prokott 21:19, 13. Aug. 2007 (CEST)

(Fortsetzung…)

Nach weiteren Nachforschungen ist für mich tatsächlich nicht entscheidbar, ob die Tripel-Schreibweise für algebraische Strukturen in dem Falle, dass die Grundmenge variabel, die (zwei) Verknüpfungen aber bestimmte übliche Verknüpfungen sind und es um die Formulierung einer Definition geht, nun üblich oder unüblich ist, die Tupel-Schreibweise zu wählen. Zumindest ist es sachlich nicht falsch, denn ich habe folgende allgemeine Definition von algebraischen Strukturen gefunden:

Definition 1.2.1. Es seien $X$ und $Y$ Mengen. Eine Abbildung $f:X\times X\rightarrow X$ heißt eine innere Verknüpfung (oder eine innere Komposition) auf $X.$ eine Abbildung $g:Y\times X\rightarrow X$ heißt eine äußere Verknüpfung (oder äußere Komposition) auf $X$ mit Operatorenbereich $Y.$ Ein Tupel $(X,f_{1},\ldots ,f_{n},Y_{1},g_{1},\ldots ,Y_{m},g_{m})$ bestehend aus einer nichtleeren Menge $X$, inneren Verknüpfungen $f_{i}$ auf $X\ (1\leq i\leq n)$ und äußeren Verknüpfungen $g_{j}$ auf $X$ mit nichtleerem Operatorenbereich $Y_{j}\ (1\leq j\leq m)$ heißt eine algebraische Struktur.

(Hoppla, hier steht ja auch, weswegen ${\mathcal {R}}$ nichtleer sein muss. Wäre vielleicht klug einen Artikel mit dieser Definition hier anzulegen und darauf zu verweisen, statt andere Motivationen für die Nichtleerheit anzuführen. Im Artikel algebraische Struktur steht übrigens Ähnliches.)

Andereseits verstehe ich jetzt auch deinen Standpunkt besser, dass es gerade von Fachliteratur Belesene verwirren könnte, wenn dort plötzlich eine Formulierung auftaucht, die sie sonst in einem anderen Zusammenhang gewohnt sind.

Wie auch du schon, habe ich natürlich viele Beispiele dafür gefunden (ob nun in konkreten Büchern oder meiner Erinnerung), wo übliche Verknüpfungen, aber auch nur bestimmte oder sogar unbestimmte Verknüpfungen nicht zusammen in ein Tupel mit der Trägermenge geschrieben wurden, für die sie als algebraische Struktur dienen sollten.

Ein vergleichbares Beispiel in einer Definition, wie meine Formulierung hier, habe ich nicht gefunden. Kannte es vor allem aus Übungsgruppen, aber mindestens auch aus einem Buch einer meiner Algebra-Profs Wolfahrt (wenn ich mich recht erinnere; das Buch hatte ich mir allerdings nur geliehen), dass man jenseits von Definitionen solche Formulierungen gebrauchte, wie etwa:

• Ein echter Unterkörper von $\mathbb {R}$ ist eine Untermenge $R\subsetneqq \mathbb {R}$, so dass $(R,+,\cdot )$ einen Körper bildet.

• $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ ist ein echter Unterkörper von $\mathbb {R}$.

• $(\mathbb {R} ,+)$ wird auch die additive Gruppe von $\mathbb {R}$ genannt.

Also, ganz sicher, ob man die Tupel-Schreibweise so gebrauchen sollte, wie ich das habe, bin ich mir nach diesen Recherchen nicht mehr. Insofern können wir es auch gerne lassen. Wenngleich ich darin eigentlich kein besonders großes Problem sähe. Aber du scheinst da ja anderer Ansicht zu sein. Ich finde es vor allem deshalb schade, weil ich es sehr schön in dem Abschnitt zum Ring iSdA anbringen konnte, wo ich die beiden Tripel $({\mathcal {R}},\cup ,\setminus )$ und $({\mathcal {R}},\Delta ,\cap )$ so schön vergleichbar nebeneinander präsentieren konnte. Wenn im Text vorher natürlich nix von der Tripel-Schreibweise für den Mengenring stehen würde, wäre das nicht mehr allgemeinverständlich. Aber zur Not verzichte ich auch auf diese nette Synoptik.

Gruß – Markus Prokott 00:06, 14. Aug. 2007 (CEST)

Also ich bin schon froh, wenn wir die Tripel-Schreibweise wieder herausnehmen. Bei den sprachlichen Fragen werden wir uns bestimmt irgendwie einig, da gebe ich auch gerne nach wo es nur um Geschmack geht. Schließlich bin ich ja kein Poet. --Drizzd 14:10, 14. Aug. 2007 (CEST)

Habe es jetzt mal versucht umzuformulieren, muss aber nicht die endgültige Form sein. Ich hoffe, ich habe dabei nicht etwas Missverstanden: Deine Aversion gegen die Tripel-Schreibw. bezog sich doch nur auf dieselbe beim Mengenring, nicht beim Ring iSdA, oder? So hatte ich das jedenfalls die ganze Zeit über verstanden, aber man weiß ja nie.

Gruß – Markus Prokott 01:14, 15. Aug. 2007 (CEST)

Das hast Du genau richtig verstanden. Auf den ersten Blick sieht das alles sehr gut aus. Ich werde es genauer durchlesen, sobald ich mehr Zeit habe. --Drizzd 17:35, 16. Aug. 2007 (CEST)

Habe mir den Artikel jetzt nach längerer Zeit wieder durchgelesen und finde, der ließt sich ganz gut. Ist vielleicht kein Exzellenz-Kandidat, aber ist doch schön, wenn bei einer intensiven Diskussion am Ende was Gutes bei rauskommt. —Markus Prokott 02:57, 19. Sep. 2007 (CEST)

Wozu X?

Wozu braucht man ${\mathcal {X}}$? Kann nicht ${\mathcal {R}}$ einfach eine beliebige (nichtleere) Menge von Mengen sein? Wenn man hieraus ${\mathcal {X}}:=\bigcup {\mathcal {R}}$ bildet, hat man ja wieder ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ ...--Hagman 15:08, 18. Mai 2007 (CEST)

Wenn man verschiedene Ringe über der gleichen Menge ${\mathcal {X}}$ betrachtet zeichnet man diejenigen Ringe, die ${\mathcal {X}}$ enthalten, als Mengenalgebra aus: sie sind abgeschlossen bezüglich Komplementbildung, das ist stärker als Abgeschlossenheit unter Differenzbildung. --Erzbischof 17:07, 18. Mai 2007 (CEST)

... wird aber eben erst für Algebren wichtig!--Hagman 19:22, 18. Mai 2007 (CEST)

Wichtig oder nicht, welchen Vorteil hätte man davon, ${\mathcal {X}}$ nicht vorzugeben? Es würde die Notation nur verkomplizieren, wenn man ${\mathcal {X}}$ immer gleich der Vereinigung des Mengensystems setzen müsste. In der Regel erzeugt man einen Ring ohnehin aus Teilmengen mit bestimmten Eigenschaften und erhält damit einen natürlichen Kandidaten für ${\mathcal {X}}$. --Drizzd 11:12, 19. Mai 2007 (CEST)

Zum einen taucht das ${\mathcal {X}}$ außer in der Definition eigentlich nicht mehr auf, man müßte es also nicht nachträglich über die Vereinigung "ausrechnen", weil man es gar nicht braucht. Zum anderen kann man prinzipiell die Definition auch dann sinnvoll auf ${\mathcal {R}}$ anwenden, wenn $\bigcup {\mathcal {R}}$ gar nicht existiert (sprich: wenn ${\mathcal {R}}$ eine echte Klasse ist).--Hagman 00:22, 20. Mai 2007 (CEST)

Kein Ring im Sinne der Algebra

Kann man folgendes sagen:

$({\mathcal {R}},\cup ,\setminus )$ ist kein Ring im Sinne der linearen Algebra,

da $({\mathcal {R}},\cup )$ kein Inverses Element hat und

$({\mathcal {R}},\cup )$ nicht kommutativ ist.

Grüße, --Martin Thoma 20:21, 23. Okt. 2012 (CEST)

Ja, das ist so (abgesehen davon, dass die Heimat der Ringe nicht die lineare Algebra ist). Wieso fragst du? --Chricho ¹ ² ³ 20:51, 23. Okt. 2012 (CEST)

Ich wollte (habe) eine Begründung einfügen, warum ein Mengenring nicht das gleiche wie ein "Algebra-Ring" ist. --Martin Thoma 21:03, 23. Okt. 2012 (CEST)

Schau mal weiter unten im Artikel. ;) Du musst die richtigen Operationen wählen, mit symmetrischer Differenz als Addition und Schnitt als Multiplikation ist es nämlich ein kommutativer Ring mit Eins (und wird sogar zu einer $\mathbb {F} _{2}$-Algebra, wenn es sich um eine Algebra im maßtheoretischen Sinne handelt). Dass man mit anderer Wahl keinen Ring im Sinne der Algebra erhält, erscheint mir keine Erwähnung wert, da ich keine besondere Bewandnis in der Wahl von $\cup$ und $\setminus$ sehe (man könnte zum Beispiel auch $\subset$ (ein Ring ist eine partielle Ordnung, die…) oder $\cup$ und $\cap$ (ein Ring ist ein Verband, der…) als grundlegende Operationen wählen und eben logische Bedingungen hinzufügen) Habe es daher wieder weggemacht. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:42, 23. Okt. 2012 (CEST)

Oh, ok, danke fürs Korrektur-Lesen. Natürlich ist es nicht erwähnenswert, dass $({\mathcal {R}},\cup ,\setminus )$ kein Ring ist, wenn es andere Operationen gibt, bei denen es ein Ring ist. Damit ist dieses Thema erledigt. (Und ich habe mal wieder was dazu gelernt :-) )

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 08:08, 24. Okt. 2012 (CEST)