Diskussion:Nullteiler

Z/6

Der Restklassenring Z/6Z hat als Nullteiler neben 2 und 3 auch noch 4. Das sollte berichtigt werden. (nicht signierter Beitrag von 132.195.132.131 (Diskussion) 15:37, 3. Mai 2006)

Ich lese das nicht als Behauptung, dass das alle Nullteiler seien.--Gunther 15:44, 3. Mai 2006 (CEST)

Man kann es aber durchaus so verstehen, dass 2 und 3 die einzigen Nullteiler von Z/6Z sind. (nicht signierter Beitrag von 62.104.117.3 (Diskussion) 14:55, 7. Mai 2006)

Eigentlich sollte das durch die nachgeschobene Begründung ausreichend klar sein. Aber meinetwegen kann man da auch ein "(u.a.)" ergänzen.--Gunther 18:20, 7. Mai 2006 (CEST)

Null als Nullteiler

Dass 0 stets ein Nullteiler sei, widerspricht der Definition, die ausdrücklich verlangt, dass Nullteiler von 0 verschieden sind. --FerdiBf 14:20, 27. Feb. 2010 (CET)

Das hab ich dann nach einem Blick in Algebrabuch doch sofort selbst behoben.--FerdiBf 14:27, 27. Feb. 2010 (CET)

Die Null wird normalerweise als Nullteiler nicht ausgeschlossen. Die Null ist nur im Nullring kein Nullteiler, sonst schon. siehe z. B. https://books.google.de/books?id=nR-fBgAAQBAJ&pg=PA68&dq=nullteiler&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwid7I2usY7KAhWKaRQKHSXpCGIQ6AEIMTAD#v=onepage&q=nullteiler&f=false Pmatu (Diskussion) 18:25, 9. Okt. 2015 (CEST)

Algebra der Sedenionen und die Nullteilerdefinition

Im Artikel über hyperkomplexe Zahlen heißt es wie folgt:

Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ oder alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

und in dem Artikel über die Sedenionen selbst steht folgendes:

Die Multiplikation der Sedenionen ist weder kommutativ noch assoziativ und ist auch nicht alternativ. Sie ist nur noch potenz-assoziativ und flexibel. Weiterhin erfüllen die Sedenionen die Jordan-Identität und bilden daher eine nichtkommutative Jordan-Algebra. Sedenionen besitzen Nullteiler.

Widersprechen sich nicht beide Sätze selbst?
Immerhin ist in diesem Artikel der Nullteiler als Element eines Ringes definiert, und der wiederum als assoziativ, was die Sedenionen laut o.g. Sätzen ausdrücklich nicht sind. Vielleicht könnte man dann von "Nullteilern in einem uneigentlichen Sinn" sprechen, aber keinesfalls von Nullteilern im Sinne dieser Definition.--Slow Phil 14:55, 14. Dez. 2010 (CET)

P.S.: Gleiches gilt selbstverständlich auch z.B. für die durch den $\mathbb {R} ^{3}$ mit Kreuzprodukt als Multiplikation definierte Algebra.--Slow Phil 15:03, 14. Dez. 2010 (CET)

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Ringes sind Nullteiler

Gilt das immer oder nur in Ringen mit 1? Denn in der Begründung wird eine 1 vorausgesetzt, oder sehe ich da etwas falsch? --84.132.183.88 16:20, 30. Okt. 2011 (CET)

Nullteiler sind kürzbar?

Im Abschnitt Eigenschaften steht:

"In Ringen ist ein Element ungleich Null genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es links-, rechts- bzw. zweiseitig kürzbar ist." Ist das nicht genau umgekehrt? Sind nicht Nullteiler gerade nicht kürzbar? --Kajdron (Diskussion) 09:30, 21. Feb. 2023 (CET)

So, wie's dasteht, ist es richtig.

Was du vllt sagen willst, dass "nicht Nichtnullteiler nicht kürzbar" sind.--Nomen4Omen (Diskussion) 13:57, 21. Feb. 2023 (CET)

triviale Nullprodukte ausgeklammert

Aus der Einleitung: "Nach dieser Definition ist das Nullelement 0 selbst natürlich ein (trivialer) Nullteiler, falls R nicht der Nullring ist. Aber da es als neutrales Element der Addition gleichzeitig absorbierendes Element der Multiplikation ist, wird ein Nullprodukt, das einen Faktor 0 enthält, als trivial angesehen. Die trivialen Nullprodukte werden bei der Definition des Begriffs Nullteiler ausgeklammert." Es wäre schön, wenn sich der Artikel darauf einigen könnte, ob triviale Nullprodukte nun ausgeklammert werden oder nicht. Das kann ich bisher nicht erkennen. --Mathze (Diskussion) 14:22, 19. Apr. 2023 (CEST)

Oben lese ich von dir: "... das einen Faktor enthält, als trivial angesehen. ..."

ME ist außerordentlich wichtig, dass in der Einleitung steht: "... das einen Faktor 0 enthält, als trivial angesehen. ..."

Bleibt dein Problem auch dann bestehen? --Nomen4Omen (Diskussion) 16:05, 19. Apr. 2023 (CEST)

Die "0" ist beim Copy&Paste verlorengeangen. Ich habe sie nachträglich eingefügt. Das Problem bleibt auch dann bestehen: Zunächst wird das Nullelement als Nullteiler nicht ausgeschlossen, dann schon. --Mathze (Diskussion) 16:41, 19. Apr. 2023 (CEST)

Sorry, meine vorige Antwort war daneben. Du hast mich auf eine Fehlspur gezogen, was ich hiermit zu korrigieren versuche.

Die Trivialität der Nullprodukte ist bedeutsam und sie werden im Artikel einheitlich ausgeklammert.

Ansonsten musst du mir ein Beispiel geben.

Wohlgemerkt: Der einzige triviale Nullteiler ist die 0.

--Nomen4Omen (Diskussion) 18:09, 19. Apr. 2023 (CEST)

Ich verstehe, dass der einzige triviale Nullteiler die 0 ist. Es geht mir darum, dass die Einleitung inkonsistent ist. Im ersten Satz wird gar nicht ausgeschlossen, dass ein Nullteiler trivial sein darf. Dort steht: In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes R ein Element a, für das es ein vom Nullelement verschiedenes Element b gibt, so dass ab=0. Also, nochmal ganz deutlich: Es wird ausgeschlossen, dass b=0 ist, aber für a gibt es keinerlei Einschränkungen. Auch bei der Definition im Abschnitt Definition gibt es keinerlei Einschränkungen an a: "Ist R ein Ring und $a\in R$, dann unterscheidet man zwischen: ... Diese Definition lässt auch die Schlussfolgerung des 3. Satzes der Einleitung zu: "Nach dieser Definition ist das Nullelement 0 selbst natürlich ein (trivialer) Nullteiler." Soweit, so gut: "0" darf sich Nullteiler nennen. Doch dann kommen der 4. und der 5. Satz der Einleitung: "...wird ein Nullprodukt, das einen Faktor 0 enthält, als trivial angesehen. Die trivialen Nullprodukte werden bei der Definition des Begriffs Nullteiler ausgeklammert." Hier tritt die von mir angesprochene Inkonsistenz auf. --Mathze (Diskussion) 18:40, 19. Apr. 2023 (CEST)

"... für a gibt es keinerlei Einschränkungen". Das ist doch richtig so, denn a ist auf jeden Fall ein Nullteiler. Und bei a≠0 ist a ein nicht-trivialer und bei a=0 ein trivialer.

Und nehmen wir an: b≠0 und ab=0. Dann ist ab genau dann ein triviales Nullprodukt, wenn a=0, also genau dann, wenn es einen Faktor 0 enthält.

Der Satz "Die trivialen Nullprodukte werden bei der Definition des Begriffs Nullteiler ausgeklammert" ist nur eine Erläuterung dessen, was man macht. Er könnte auch weggelassen werden, weil die anderen Sätze mehr oder minder mit anderen Worten, hauptsächlich Formeln, dasselbe sagen. Vielleicht misst du dem Wort "ausgeklammert" eine konsistenzvernichtende Bedeutung bei. Wenn du einen anderen Vorschlag hast? --Nomen4Omen (Diskussion) 19:03, 19. Apr. 2023 (CEST)

Ja, es geht mir genau um den Satz "Die trivialen Nullprodukte werden bei der Definition des Begriffs Nullteiler ausgeklammert". Vielleicht verstehe ich den Satz auch falsch. Ich verstehe ihn so: Bei der Definition wird von trivialen Nullprodukten abgesehen/ diese werden aus der Betrachtung rausgenommen. Mein Vorschlag wäre, diesen Satz rauszunehmen. Anstatt dessen könnte man den Hinweis geben, dass in der Literatur kein Konsens darüber herrscht, ob "0" als Nullteiler bezeichnet wird oder nicht. Ich habe auch Literatur gefunden, wo die Null explizit rausgenommen wird (z. B. Karpfinger, Mayberg: Algebra, 4. Aufl.) --Mathze (Diskussion) 19:21, 19. Apr. 2023 (CEST)

Fein! Mach mal! --Nomen4Omen (Diskussion) 19:26, 19. Apr. 2023 (CEST)