Mit der Cornish-Fisher-Methode (nach E. A. Cornish und Ronald Aylmer Fisher) kann das Quantil einer Verteilungsfunktion auf Basis der ersten vier Momente (Erwartungswert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis) abgeschätzt werden.[1] Basis ist die Bestimmung eines Quantils einer Normalverteilung.[2] Im Falle einer Normalverteilung mit Erwartungswert können die Quantile der Verteilung dargestellt werden als

.

Hierbei ist der Faktor nur vom betrachteten Quantil abhängig und entspricht dem Wert der invertierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle .

Die Cornish-Fisher-Erweiterung berücksichtigt nun die Schiefe und die Wölbung einer Verteilung, womit sich natürlich andere Quantile als bei der Normalverteilung ergeben, deren Schiefe 0 und Kurtosis 3 beträgt. Hierbei wird der Faktor angepasst mittels

dabei bezeichnet den Exzess, d. h. die über die Wölbung der Normalverteilung hinausgehende Wölbung (Überkurtosis).

(Cornish-Fisher-Abschätzung).[3]

Die Berechnung der Quantilsfunktion lautet damit

.

Die Methode ermöglicht unter anderem eine bessere Abschätzung von quantilsbezogenen Risikomaßen, z. B. dem Value at Risk, wenn die Normalverteilungshypothese verletzt ist.[4]

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Einzelnachweise

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  1. Preview: The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants bei jstor.org, abgerufen am 3. Mai 2022.
  2. Inefficiency and bias of modified value-at-risk and expected shortfall bei risk.net, abgerufen am 3. Mai 2022.
  3. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.
  4. Moments and cumulants in the Specification of Distributions bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.