Cichoń-Diagramm

In der Mengenlehre beschreibt das Cichoń-Diagram (oder englisch Cichoń’s diagram) beweisbare Größenverhältnisse von zehn Kardinalzahlen, die sich auf Teilmengen von reellen Zahlen beziehen. Alle dargestellten Kardinalzahlen liegen zwischen $\aleph _{1}$, der kleinsten überabzählbaren Kardinalzahl, und ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$, der Kardinalität des Kontinuums $\mathbb {R}$. Vier dieser Kardinalzahlen beschreiben Eigenschaften der Lebesgue-Nullmengen. Vier weitere beschreiben die entsprechenden Eigenschaften der mageren Teilmengen.

Der britische Mathematiker David Fremlin benannte das Diagramm nach dem polnischen Mathematiker Jacek Cichoń.

Definitionen

Sei $X$ eine Menge und ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ein Ideal (das heißt: für $A,B\in {\mathcal {I}},Y\subseteq X$ gilt $A\cup B\in {\mathcal {I}}$ und $A\cap Y\in {\mathcal {I}}$), das alle endlichen Teilmengen von $X$ enthält.

• Die Additivität

${\textstyle \operatorname {add} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \{}\,\left|{\mathcal {A}}\right|\;{\big |}\;{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {I}}\land \bigcup {\mathcal {A}}\notin {\mathcal {I}}\,{\bigr \}}}$

von ${\mathcal {I}}$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von ${\mathcal {I}}$, deren Vereinigung nicht mehr in ${\mathcal {I}}$ liegt. Da das Ideal nach Definition unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist, ist $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\geq \aleph _{0}$. Ist ${\mathcal {I}}$ ein σ-Ideal (das heißt: ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {I}}}$ für $A_{n}\in {\mathcal {I}}$), so ist $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\geq \aleph _{1}$.

• Die Überdeckung

${\textstyle \operatorname {cov} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \{}\,\left|{\mathcal {A}}\right|\;{\big |}\;{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {I}}\land \bigcup {\mathcal {A}}=X\,{\bigr \}}}$

von ${\mathcal {I}}$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von ${\mathcal {I}}$, deren Vereinigung $X$ ergibt. Wegen $X\notin {\mathcal {I}}$ folgt $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cov} {\mathcal {I}}$.

• Die Uniformität

${\textstyle \operatorname {non} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \{}\,\left|A\right|\;{\big |}\;A\subseteq X\land A\notin {\mathcal {I}}\,{\bigr \}}}$

von ${\mathcal {I}}$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von $X$, die nicht in ${\mathcal {I}}$ liegt.

• Die Konfinalität

${\textstyle \operatorname {cof} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \{}\,\left|{\mathcal {A}}\right|\;{\big |}\;{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {I}}\land \forall _{B\in {\mathcal {I}}}\,\exists _{A\in {\mathcal {A}}}A\supseteq B\,{\bigr \}}}$

von ${\mathcal {I}}$ ist die Konfinalität der Halbordnung $({\mathcal {I}},\subseteq )$, also die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von ${\mathcal {I}}$, die kofinal in ${\mathcal {I}}$ ist.

Aus den Definitionen folgt unmittelbar, dass $\operatorname {non} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cof} {\mathcal {I}}$ und $\operatorname {cov} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cof} {\mathcal {I}}$ für jedes Ideal ${\mathcal {I}}$ gilt.

Daneben werden die Unbeschränktheitszahl ${\mathfrak {b}}$ und Dominierungszahl ${\mathfrak {d}}$ wie folgt definiert:

${\mathfrak {b}}=\min {\bigl \{}\,\left|F\right|\;{\big |}\;F\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\land \forall _{g\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }\,\exists _{f\in F}\,\exists _{n\in \mathbb {N} }^{\infty }\;g(n)<f(n)\,{\bigr \}}$ und

${\mathfrak {d}}=\min {\bigl \{}\,\left|F\right|\;{\big |}\;F\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\land \forall _{g\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }\,\exists _{f\in F}\,\forall _{n\in \mathbb {N} }^{\infty }\;g(n)<f(n)\,{\bigr \}}$,

wobei $\exists ^{\infty }$ für es gibt unendlich viele steht und $\forall ^{\infty }$ für für alle bis auf endlich viele Ausnahmen.

Das Diagramm

Schreibe ${\mathcal {B}}$ für das σ-Ideal der mageren reellen Mengen in der euklidischen Topologie und ${\mathcal {L}}$ für das σ-Ideal der Lebesgue-Nullmengen. Dann gelten folgende Ungleichungen:

		$\operatorname {cov} {\mathcal {L}}$	$\leq$	$\operatorname {non} {\mathcal {B}}$	$\leq$	$\operatorname {cof} {\mathcal {B}}$	$\leq$	$\operatorname {cof} {\mathcal {L}}$	$\leq$	${\mathfrak {c}}$
		$\leq$		$\leq$		$\leq$		$\leq$
				${\mathfrak {b}}$	$\leq$	${\mathfrak {d}}$
				$\leq$		$\leq$
$\aleph _{1}$	$\leq$	$\operatorname {add} {\mathcal {L}}$	$\leq$	$\operatorname {add} {\mathcal {B}}$	$\leq$	$\operatorname {cov} {\mathcal {B}}$	$\leq$	$\operatorname {non} {\mathcal {L}}$

Außerdem gelten

$\operatorname {add} {\mathcal {B}}=\min\{\operatorname {cov} {\mathcal {B}},{\mathfrak {b}}\}$ und

$\operatorname {cof} {\mathcal {B}}=\max\{\operatorname {non} {\mathcal {B}},{\mathfrak {d}}\}$.

Analyse

Es hat sich herausgestellt, dass die dargestellten Ungleichungen alle in ZFC beweisbaren Ungleichungen zwischen diesen Kardinalitäten umfassen: Ist $H$ eine Zuweisung der zehn Kardinalitäten im Diagramm an $\aleph _{1}$ und $\aleph _{2}$, die keine der dargestellten Ungleichungen verletzt, so wird $H$ von einem Modell von ZFC realisiert (unter der Voraussetzung, dass ZFC konsistent ist).

Die Situation ist nicht abschließend für ${\mathfrak {c}}>\aleph _{2}$ geklärt. Es ist konsistent mit ZFC, dass alle dargestellten Kardinalzahlen verschieden sind, bis auf $\operatorname {add} {\mathcal {B}}$ und $\operatorname {cof} {\mathcal {B}}$, die notwendig mit einer anderen übereinstimmen müssen. Bisher (Stand: 2019) ist es eine offene Frage, ob alle Zuweisungen der zehn Kardinalitäten im Diagramm an beliebige Kardinalzahlen, die keine der dargestellten Ungleichungen verletzen, mit ZFC konsistent sind.

Einige Ungleichungen wie etwa $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cov} {\mathcal {I}}$ und ${\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {d}}$ folgen unmittelbar aus den Definitionen. Die Ungleichungen $\operatorname {cov} {\mathcal {B}}\leq \operatorname {non} {\mathcal {L}}$ und $\operatorname {cov} {\mathcal {L}}\leq \operatorname {non} {\mathcal {B}}$ sind klassische Resultate und folgen aus dem Umstand, dass das Kontinuum in eine magere Menge und eine Nullmenge zerlegt werden kann.

Aus der Kontinuumshypothese $\aleph _{1}={\mathfrak {c}}$ folgt unmittelbar, dass alle Ungleichungen im Diagramm Gleichungen sind. Aus Martins Axiom, einer Abschwächung der Kontinuumshypothese, folgt, dass alle dargestellten Kardinalzahlen $\aleph _{1}$ oder ${\mathfrak {c}}$ sind.