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Ein Binomialtest ist ein statistischer Test, bei dem die Teststatistik binomialverteilt ist. Er wird verwendet, um Hypothesen über Merkmale zu prüfen, die genau zwei Ausprägungen annehmen können (dichotome Merkmale).

Inhaltsverzeichnis

Hypothesen und TeststatistikBearbeiten

Mit dem Binomialtest können folgende Hypothesenpaare für die unbekannte Wahrscheinlichkeit   eines Merkmals in der Grundgesamtheit getestet werden:

Test    
zweiseitig    
rechtsseitig   oder    
linksseitig   oder    

Die Teststatistik   gibt an, wie oft das Merkmal in einer zufälligen Stichprobe vom Umfang   aufgetreten ist. Unter der Nullhypothese   ist die Teststatistik  -verteilt, das heißt

 .

Signifikanzniveau und kritische WerteBearbeiten

 
Teststatistik für den Binomialtest, die roten Balken gehören zum kritischen Bereich.

Da die Teststatistik diskret verteilt ist, kann das vorgegebene Signifikanzniveau   in der Regel nicht eingehalten werden. Daher wird gefordert, die kritischen Werte so zu wählen, dass für ein möglichst großes exaktes Signifikanzniveau   gilt  .

Für den zweiseitigen Test werden daher als kritische Werte das größte   und das kleinste   bestimmt werden, für die gilt

  •   und
  •  .

Das exakte Signifikanzniveau ergibt sich als  . Für die beiden einseitigen Tests wird analog verfahren.

Test Kritische Werte Kritischer Bereich Grenze(n)
zweiseitig   und    
rechtsseitig     c = kleinster Wert, für den  
linksseitig     c = größter Wert, für den  

Approximation der Verteilung der TeststatistikBearbeiten

 
Approximation einer Binomialverteilung mit einer Normalverteilung.

Die binomialverteilte Teststatistik kann mit einer anderen Verteilung approximiert werden. Die dafür notwendigen Approximationsbedingungen können je nach Literaturquelle variieren.

Verteilung Parameter Approximationsbedingungen
Poisson-Verteilung       und  
Normalverteilung     und    

Im Fall der Approximation der Normalverteilung kann statt der Teststatistik   auch gleich die Teststatistik   betrachtet werden.

BeispieleBearbeiten

  1. Hellseherische Fähigkeit versus Raten der Farbe einer zufällig gewählten Spielkarte (aus statistischer Test): Bei  -maliger Durchführung erreicht eine Testperson   Treffer (Farbe richtig genannt). Ab welcher Trefferzahl   sollte man die Nullhypothese   verwerfen und die Alternativhypothese   (also tatsächliche hellseherische Fähigkeit) für plausibler halten?[1] Wenn   richtig ist, dann ist   binomialverteilt mit Parametern   und 1/4. Die Wahrscheinlichkeit,   oder mehr Treffer durch Raten zu erzielen, beträgt dann  . Bei einem Signifikanzniveau von 1 % verwirft man die Nullhypothese, falls  . Hier ist   der kleinste Wert, für den   ist. Beispielsweise für   ergibt sich  . Die Testperson müsste also unter den genannten Bedingungen mindestens bei 36 von 100 Versuchen richtig liegen, damit ihre hellseherischen Fähigkeiten für plausibel gehalten werden.
  2. In einer Multiple-Choice-Prüfung gibt es 50 Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Dies führt zur gleichen Fragestellung wie das Spielkartenbeispiel. Die Nullhypothese ist, dass ein Prüfling die Antwort zufällig ankreuzt ( ), und die Alternativhypothese ist  .[2] Diese Modellierung setzt allerdings voraus, dass es keine Möglichkeit gibt, gewisse Antworten als unplausibel auszuschließen.
  3. Eine Urne enthält 10 Kugeln, von denen jede weiß oder schwarz sein kann. Man möchte die Nullhypothese testen, dass alle Kugeln weiß sind (also  ), und zieht   Kugeln mit Zurücklegen. Die Alternativhypothese ist   und man verwirft die Nullhypothese, sobald eine oder mehr schwarze Kugeln gezogen worden sind: Der Ablehnungsbereich ist  . Der Fehler 1. Art ist gleich 0, da unter der Nullhypothese keine schwarze Kugel gezogen werden kann. Der Ablehnungsbereich ist also offenbar unabhängig vom Signifikanzniveau. Der Fehler 2. Art ist maximal, falls genau eine schwarze Kugel vorhanden ist, und beträgt dann  .
  4. (Gegenbeispiel) Gleiche Situation, aber Ziehen ohne Zurücklegen (es werden maximal   Kugeln gezogen). Wie im vorigen Fall verschwindet der Fehler 1. Art. Der Fehler 2. Art bestimmt sich aber aus einer hypergeometrischen Verteilung. Er ist maximal für eine schwarze Kugel und beträgt dann  . Es handelt sich also nicht um einen Binomialtest.
  5. Mit dem Dreieckstest möchte man herausfinden, ob es einen Geschmacksunterschied zwischen zwei Produkten   und   gibt. Hierfür werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt   und eine Probe gehört zum Produkt   oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt  . Insgesamt nehmen   verschiedene Probanden an dem Versuch teil. Die statistischen Berechnungen entsprechen denen des ersten Beispiels mit dem Unterschied, dass der zu testende Parameter   statt   lautet.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Wir betrachten für p den Parameterbereich [1/4,1], um zu erreichen, dass Nullhypothese und Alternativhypothese den gesamten Parameterbereich überdecken. Bei absichtlichem Nennen einer falschen Farbe könnte man zwar auch auf hellseherische Fähigkeiten schließen, aber wir nehmen an, dass die Testperson eine möglichst hohe Trefferzahl erzielen will.
  2. Wie im Spielkartenbeispiel nehmen wir an, dass der Parameterbereich [1/4,1] ist (Prüfling möchte eine möglichst hohe Trefferzahl erreichen).

LiteraturBearbeiten

  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 8. Auflage. Vieweg, 2010.
  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8. Auflage. Vieweg, 2005.
  • Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 3. Auflage. Harri Deutsch, 2003.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Binomial test – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien