Bi-konservative Untermannigfaltigkeit

Begriff aus der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik

Bi-konservative Untermannigfaltigkeit ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Definition

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Für eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten   definiert man ihre Bi-Energie als   mit zugehöriger Euler-Lagrange-Gleichung

 ,

wobei   der Riemannsche Krümmungstensor und   das Tensionsfeld ist. (Harmonische Abbildungen werden durch   definiert.)

Der Stress-Energie-Tensor der Bi-Energie ist definiert durch

 

Eine Untermannigfaltigkeit heißt bi-konservativ, wenn die sie definierende isometrische Immersion die Gleichung

 

erfüllt.

Biharmonische Untermannigfaltigkeiten

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Eine Untermannigfaltigkeit heißt biharmonisch, wenn die sie definierende isometrische Immersion eine biharmonische Abbildung ist. In diesem Fall gilt

 ,

weshalb biharmonische Untermannigfaltigkeiten stets bi-konservativ sind.

Literatur

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  • R. Caddeo, S. Montaldo, C. Oniciuc, P. Piu: Surfaces in three-dimensional space forms with divergence-free stress-bienergy tensor. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 193, No. 2, 529–550 (2014).