Die Neusis (altgrichisch: νεῦσις: ‚Neigung‘, zu dem Verb neuein = ‚gerichtet in Richtung‘, Plural: neuseis) ) ist eine geometrische Konstruktionsmethode, die von griechischen Mathematiker der Antike verwendet wurde.
Meetkundige constructie Bearbeiten
Bij een neusis (van Grieks neuein = 'gericht zijn naar'; meervoud: neuseis) wordt een lijnstuk met gegeven lengte (a) ingepast tussen twee gegeven lijnen (l en m), zodat (het verlengde van) het lijnstuk door een gegeven punt P gaat. Het ene uiteinde van het lijnstuk komt dus te liggen op l, het andere op m, terwijl het lijnstuk "gericht" is naar het punt P.
De neusisconstructie wordt uitgevoerd met een 'neusisliniaal': een liniaal met schaalverdeling die kan roteren om het punt P (bijvoorbeeld doordat er in het punt P een punaise is gestoken waar de liniaal tegenaan gedrukt wordt gehouden). Het uiteinde van de liniaal waar zich het nulpunt van de schaalverdeling bevindt (in de figuur aangegeven met een geel oogje), wordt langs lijn l bewogen, net zo lang tot het punt van de schaalverdeling dat overeenkomt met de gewenste lengte a (aangegeven met een blauw oogje), de lijn m kruist. Het aldus geconstrueerde lijnstuk (het resultaat van de neusis) is in de afbeelding aangegeven als een donkerblauw balkje.
Het punt P heet de 'pool' van de neusis, de lijn l de 'richtlijn', de lijn m de 'vanglijn'. De lengte a heet diastema (Grieks: 'afstand').
Geometrische Konstruktion Bearbeiten
In einer Neusis-Kontruktion wird eine Strecke einer gegebenen Länge (a) zwischen zwei Kurve (l und m) eingeschoben, so dass die Strecke oder ihre Verlängerung durch einen vorgegebenen Punkt P geht. Ein Ende der Strecke kommt somit auf l zu liegen, die anderen m, während das Liniensegment auf den Punkt P „gerichtet“ ist.
Die Neusis-Konstruktion ist mit einer „neusislinial‚durchgeführt: ein Lineal mit Skala, die um den Punkt P drehen kann (beispielsweise weil ein Stift in dem Punkt P eingefügt wird, wo das Lineal gehalten wird, gegen die es gedrückt wird). Das Ende des Lineals, wo sie der Nullpunkt der Skala ist (in der Figur mit einer gelben Öse angedeutet), wird entlang der Linie L bewegt, so lange bis zum Punkt der Skala, die ein auf die gewünschte Länge entspricht (durch a angedeutet blue eye) schneidet die Linie m. Das so aufgebaute Segment (das Ergebnis der Neusis) in dem Bild als dunkler Balken dargestellt.
Der Punkt P ist der „Pol“ des Neusis, die Linie L wird „Leitlinie“, oder „Führungslinie“ genannt, ist die Linie m die „Fanglinie“. Die Länge wird als Diastema (griechisch ‚Abstand‘) bezeichnet.
Nutzen der Neusis Bearbeiten
Die Bedeutung der Neusis liegt darin, dass mit ihr geometrische Probleme gelöst werden können, die nicht mit Zirkel und Lineal lösbar sind, wie etwa die Dreiteilung des Winkels oder die Konstruktion eines regelmäßigen Siebeneck. Der Mathematiker Archimedes von Syrakus benutze sie freimütig. Allerdings fiel die Technik allmählich in Ungnade.
Afnemende populariteit Bearbeiten
De wetenschapshistoricus T.L. Heath heeft geopperd dat de wiskundige Oenopides (ca. 440 v.Chr.) als eerste ervoor heeft gepleit dat neusisconstructies waar mogelijk moesten worden vervangen door constructies met passer en liniaal. Dat principe raakte mogelijk wijder verbreid via de wiskundige Hippocrates van Chios (ca. 430 v.Chr.), een eilandgenoot van Oenopides en schrijver van (voor zover bekend) het eerste systematisch opgebouwd meetkundeboek in de geschiedenis. Honderd jaar later meed ook Euclides in zijn zeer invloedrijke meetkundeleerboek de neusis.
Een volgende aanval op de neusis kwam toen Plato's ideeënleer vanaf de vierde eeuw v.Chr. steeds meer invloed kreeg. Dat werkte in de hand dat er zich geleidelijk een hiërarchie ontwikkelde van drie klassen meetkundige constructies. De eerste klasse was het meest "abstract", de laatste was het meest "mechanisch en aards":
- constructies met alleen rechte lijnen en cirkels (passer en liniaal);
- constructies waarbij bovendien kegelsneden werden gebruikt (ellipsen, parabolen, hyperbolen);
- constructies waarbij nog andere constructiemiddelen nodig waren, zoals neuseis.
Uiteindelijk bleven neuseis alleen nog aanvaardbaar als de twee andere, "hogere" categorieën niet tot resultaat leidden. Ze werden daarmee een soort paardenmiddel dat alleen in uiterste nood werd ingezet, als meer eerbiedwaardige technieken faalden. Als een neusis werd gebruikt terwijl het ook zonder kon, dan bestempelde de wiskundige Pappus (ca. 325 na Chr.) dat als een "niet onaanzienlijke fout".
Wissenschaftshistoriker T. L. Heath schlug vor, dass die mathematische Oinopides (ca. 440 v.Chr.) Erste vor hat sich dafür ausgesprochen, dass Neusisconstructies wo immer möglich durch Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ersetzt werden sollte. Dieses Prinzip wurde möglich durch den weit verbreiteten Mathematiker Hippokrates von Chios (ca. 430 v.Chr.), Die Insel genossen Oinopides und Schriftsteller das erste systematisch aufgebaut Geometriebuch in der Geschichte (falls bekannt). Einhundert Jahre später in Euclid sind sehr einflussreich Geometrie Lehrbuch der neusis teilgenommen.
Ein anschließender Angriff auf Neusis kam, als Platons Ideenlehre aus dem vierten Jahrhundert vor Christus. bekam mehr und mehr Einfluss. Das funktionierte in der Hand, die nach und nach einer Hierarchie von drei Klassen geometrische Konstruktionen entwickelt. Die erste Klasse war die „abstrakt“, letztere war die „mechanische und irdischen“
- Konstruktionen mit nur Geraden und Kreise (d.h. mit Zirkel und);
- Konstruktionen, bei denen zusätzlich Kegelschnitte (Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) verwendet werden;
- Konstruktionen, die ncoh weitere Mittel verwenden,wie die Neusis.
Schließlich neuseis nur akzeptabel, wenn die beiden anderen „höheren“ Klassen nicht zu den Ergebnissen führte. Sie waren also eine Art Pferd Mittel nur verwendet, wenn es unbedingt notwendig, da ehrwürdige Techniken gescheitert. Wenn eine Neusis verwendet wurde, obwohl es nicht nötig war, so sah der Mathematiker Pappos (ca. 325 AD) esals eine „nicht unerheblichen Fehler“ an.
Literatur Bearbeiten
- R. Boeker: Neusis. In: P G. Wissowa (Hrsg.): Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft,. Supp. 9, 1962, S. 415–461.
- T.L. Heath: A history of Greek Mathematics. Oxford 1921.
- H.G. Zeuthen: Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Kopenhagen 1886 (Nachdruck Hildesheim1966).