Wilfried Neumaier
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Vorschlag: Aristoteles Syllogistik Bearbeiten
Aristoteles entwickelt die dialektische Methode des konsistenten Argumentierens in den Analytica priora zu einer Theorie des Beweisens weiter und begründet damit die Logik als Wissenschaft. Seine Logik wird als Syllogistik bezeichnet, weil er sich in ihr einer besonderen Argumentform bedient, die er als syllogismos bezeichnet, was traditionell mit Syllogismus übersetzt wird. Er meint hier damit ein spezielles deduktives Argument mit zwei Prämissen und einer Konklusion nach dem Schema „Wenn Prämisse 1 und Prämisse 2 gelten, gilt auch die Konklusion“.[1] Ein Syllogismus kann daher in folgender Kurzform notiert werden:
- Prämisse 1, Prämisse 2 → Konklusion
Als Prämissen und Konklusion benutzt Aristoteles folgende vier Aussageformen mit variablen Termen (in älteren Schriften wählt er verständlichere synonyme Formen):
| Aussageformen des Aristoteles[2] | Abkürzung | synonyme Formen[3] |
| A kommt jedem B zu | AaB | Jedes B ist ein A |
| A kommt keinem B zu | AeB | Kein A ist ein B |
| A kommt irgendeinem B zu | AiB | Irgendein B ist ein A |
| A kommt irgendeinem B nicht zu | AoB | Irgendein B ist kein A |
Aristoteles nennt drei Figuren, die für Syllogismen in Frage kommen; sie unterscheiden sich in der Stellung des Mittelterms, der jeweils in beiden Prämissen vorkommt und in der Konklusion eliminiert wird (hier stets B):
| syllogistische Figuren des Aristoteles[4] | |
| erste Figur | AxB, ByC → AzC |
| zweite Figur | BxA, ByC → AzC |
| dritte Figur | AxB, CyB → AzC |
Aristoteles untersucht alle 48 Prämissenkombinationen, ob mit ihnen ein Syllogismus gebildet werden kann oder nicht. 34 Fälle scheidet er durch Falsifikation mittels eingesetzter Terme aus; zu den übrigen 14 Fällen gibt er je einen Syllogismus an.[5] Vier unmittelbar einsichtige Syllogismen der ersten Figur nennt er vollkommen.[6] Auf sie führt er die restlichen Syllogismen zurück durch direkte Beweise mit Konversionsregeln oder durch indirekte Beweise.[7] Der erste vollkommene Syllogismus hat die Form AaB, BaC → AaC und wird seit dem Mittelalter als Barbara bezeichnet. Dieser Merkname, dessen Vokale die verwendeten Aussageformen nennen, stammt aus einem scholastischen Merkgedicht, das alle aristotelischen Syllogismen mit solchen Merknamen benennt und dessen Syllogistik mit Beweisen zusammenfasst. Von dorther kommen auch die Vokalsymbole und die verbreitete exemplarische Darstellung der Syllogismen in vertikaler Notation mit älteren aristotelischen Ausdrücken:
| Syllogismus Barbara in scholastischer Darstellung | |
| Prämisse 1: | Jedes Lebewesen ist ein Wesen |
| Prämisse 2: | Jeder Mensch ist ein Lebewesen |
| Konklusion: | also: Jeder Mensch ist ein Wesen |
Alle aristotelischen Syllogismen und die Nomenklatur der Syllogistik werden im Syllogismus-Artikel im Einzelnen erläutert.
- ↑ An. pr. A1, 24b18-20, allgemeinere Definition mit einige Prämissen; laut An. pr.A25, 42a32-35 beschränkt er sich aber auf genau zwei Prämissen.
- ↑ An. pr. A1, 24a18f
- ↑ Top. II 1, 108b35ff, Int. 7, 17b17-21
- ↑ An. pr. A4-6 (teils mit anderen Variablen). Aus Varianten mit konvertierter Konklusion in An.pr. A7, 29a22-27 entstand später eine 4. Figur.
- ↑ An. pr. A4-6 untersucht diese 48 Prämissen-Kombinationen, aber nicht alle 192 Kombinationen mit Konklusion. Daher fehlen dort 4 Syllogismen, deren Prämissen mit anderen Syllogismen übereinstimmen, deren Konklusion aber abgeschwächt ist.
- ↑ An. pr. A4, 25a34f, 25b32-26a2, 26b23-25
- ↑ An. pr. A5, A6
Diskussion zum Vorschlag Bearbeiten
Ok Knapp und verstaendlich. Ich hab den ref doppelt eingefuegt, wegen den staendig schwankenden Anzahlen der Syllogismen, was auf Petrus Hispanus schoen klar ist. Aristoteles hat 14, bzw haette 18. Warum hat mein Merkvers 19? Kann man irgedwie angeben, von wem man wieviele zu erwarten hat. Oder wovon muss man ausgehen? Ich bin ein Gegner von naiver Subalternation und Bamalip, Camestrop und allen mit p am Schluss. Am schoensten finde ich die indirekten.-- Room 608 16:30, 21. Jul. 2010 (CEST)
- Aristoteles hat noch mehr Syllogismen, die in keinen Merkversen auftauchen: In Analytik A7 29a22-27 spricht er allgemein von der Konversion der Konklusion und nennt ausdrücklich alle drei Figuren. Ich habe gestern extra nochmals nachgeschaut im Originaltext und daher auch die Petrus-Fußnote 10 gekürzt, den bestimmten Artikel "die 19" gelöscht und obigen Vorschlag nochmals bearbeitet. Die Anzahlfrage darf meines Erachtens nicht in eine Einführung. Sie ist in der Literatur nicht geklärt, weil die Varianten der Analytik dort nur selten erwähnt werden, und wenn, dann unvollständig. Es sind jedenfalls mehr als 19. Wenn man alle Varianten als Figuren einstufen würde, wären es drei weitere Figuren, also 6 und man hätte bei Vollständigkeit 48 Syllogismen.--Wilfried Neumaier 09:07, 22. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 10:57, 31. Jul. 2010 (CEST)
Kompatibel mit dem Aristoteles-Artikel ist obiger Vorschlag noch nicht ganz. Denn dort wird die originale Aussagenform als invertierte Stellung bezeichnet (als ob das nicht original wäre) und im Artikel später mehrfach darauf Bezug genommen. Die sind-Prädikate werden als normale Stellung bezeichnet. Das kommt daher, dass die Autoren von der scholastischen Darstellung ausgehen, sogar von der nach-scholastischen Darstellung die lauter Pluralbegriffe nimmt. Mir sind die Pluralformen erst bei Boole begegnet. Die Autoren formen sogar die originalen Singular-Aussagenformen des Aristoteles in Pluralform um. Meine Version ist wesentlich authentischer. Sie erfordert aber auch Eingriffe in den restlichen Artikel. Hier müsste man noch schauen, wie das problemlos formuliert werden kann.--Wilfried Neumaier 09:17, 22. Jul. 2010 (CEST) Ein spezieller Syllogismus mit Statuen aus Bronze macht dort Schwierigkeiten, weil sich die Übersetzung nicht so leicht in die Aussageformen einpassen lässt; die zweite Prämisse ist dort keine universelle Aussage und nicht korrekt an barbara angepasst! Hier besteht auch in der bisherigen Fassung Verbesserungsbedarf.--Wilfried Neumaier 15:29, 25. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 10:57, 31. Jul. 2010 (CEST)
- Ich lese da: Alle Bronze ist schwer. Andererseits wird in der ersten Praemisse nicht von aller Bronze gesprochen, sondern von jeder Bronze einer einzelnen Statue. Es wird vom Einzelnen aufs Allgemeine geschlossen. Das sehe ich problematisch an. -- Room 608 02:23, 1. Aug. 2010 (CEST)
Es handelt sich um folgende Tabelle aus dem Artikel:
| Nr. | Inverse Stellung | Formal | Normale Wortstellung |
|---|---|---|---|
| 1. Prämisse | Aus Bronze zu sein kommt allen Statuen zu. | BaC | Alle Statuen sind aus Bronze. |
| 2. Prämisse | Schwer zu sein kommt Bronze zu. | AaC | Bronze ist schwer. |
| Konklusion | Schwer zu sein kommt allen Statuen zu. | AaB | Alle Statuen sind schwer. |
Die Darstellung ist deswegen problematisch, weil hier erstens zwischen verschiedenen Einsetzungen gewechselt wird (aus Bronze zu sein - aus Bronze - Bronze)(schwer zu sein - schwer), zweitens zwischen Singular und Plural (ist - sind), und drittens in der Prämisse 2 keine universelle Aussagenform gebraucht wird, sondern eine ohne Indefinitpronomen, die Aristoteles als "ununterschieden" bezeichnete und mit i parallel setzte (belegbar). Wollte man konsequent bei der aristotelischen Aussageform im Singular bleiben, bräuchte man ein substantivierbares Adjektiv als Übersetzung. Hier würde ich "ehern" nehmen. Dann würde die verbesserte Tabelle so aussehen und alle Probleme sind behoben:
| aristotelische Aussagenform | Formel | synonyme Form | |
| Prämisse 1 | Ehern kommt jeder Statue zu. | BaC | Jede Statue ist ehern. |
| Prämisse 2 | Schwer kommt jedem Ehernen zu. | AaC | Jedes Eherne ist schwer. |
| Konklusion | Schwer kommt jeder Statue zu. | AaB | Jede Statue ist schwer. |
- Diese Übersetzungen kenne ich schon, wusste nur nicht, dass es die strengen nach Aristoteles sind (Bei Zemb?). Die Verifizierbarkeit (belegbar) ist ein plausibles Konzept. Begriffslogiker, Freytag et al., sind da teils zu streng auf Allgemeinbegriffe fixiert. -- Room 608 04:38, 7. Aug. 2010 (CEST)
Funktions-Artikel Bearbeiten
Hallo Wilfried Neumaier! Der Funktions-Artikel, wie er steht, ist mir ein Graus. Es würde mich freuen, wenn Du einen kurzen Blick auf meine Diskussionsseite würfest. Dank vorab und Gruß --Lothario Hederich (Diskussion) 18:02, 19. Dez. 2016 (CET)
- Ich sehe dort nichts Aktuelles. Die letzte Diskussion ist von 2013. Was meinst Du?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 08:22, 9. Jan. 2017 (CET)
Paar-Definition nach Hausdorff Bearbeiten
Hallo Wilfried! Jemand hat auf meiner Seite Benutzer:Hederich/geordnetes Paar folgenden Text eingetragen:
Auf Felix Hausdorff geht folgende Definition von etwa 1914 zurück:
Zu bemerken wäre noch, dass auch diese Definition dem Peanoschen Lesbarkeitsaxiom genügt.
Es gelingt mir nicht, die Gültigkeit des Lesbarkeitsaxioms zu erkennen: mir scheint bei dieser Definition zu sein. Siehst Du es anders? Gruß --Lothario Hederich (Diskussion) 11:45, 8. Apr. 2018 (CEST)
Ich kenne Hausdorff. Er schrieb in den Grundzügen der Mengenlehre 1914, S.32: Zwei geordnete Paare (a,b) und (a,b') gelten dann und nur dann als gleich, wenn a = a, b = b'. Anschließend definierte er . Das verbale Axiom ist das von Peano. Oberes Formelungetüm ist nicht authentisch und Quatsch. Er dachte an die Zahlen 1 und 2, die er als bekannt voraussetzte (S. 46). Es sind also nicht irgendwelche zwei vorgegebene verschiedene Objekte; deshalb wäre auch der Eintrag auf deiner Seite richtigzustellen. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:01, 8. Apr. 2018 (CEST)
Das habe ich getan. Wenn es dir nicht zu viel ist, kannst du einen Blick auf meine Benutzerseite werfen. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:52, 9. Apr. 2018 (CEST)
Ich sehe auf deiner Seite noch den unkorrigierten Text: , wobei und voneinander verschiedene Objekte sind, die auch verschieden von und sind. Diese abgeänderte Definition wäre nicht allgemein, wegen des völlig unnötigen Nachsatzes.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:24, 9. Apr. 2018 (CEST)
