Hier plane ich den Artikel über das Annuitätendarlehen zu überarbeiten. Jegliche Anregungen sind erwünscht.

Annuitätendarlehen

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Bei einem Annuitätendarlehen bekommt der Schuldner von dem Gläubiger eine Kreditsumme   ausgezahlt und zahlt diese über eine festgelegte Rate   jährlich über eine Laufzeit von   Jahren zurück. Der Begriff leitet sich aus dem lateinischen "Annus", das Jahr, ab. Die erste Rate wird genau ein Jahr nach dem Empfang der Kreditsumme fällig. Der Sinn des Annuitätendarlehens für den Schuldner besteht darin, dass er zukünftige regelmäßige jährliche Einkommen bereits heute ausgeben kann.

Grundlagen

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Es wird unterstellt, dass sich das Geld mit einer konstanten Wachstumsrate pro Jahr, dem Zins  , vermehrt (exponentielles Wachstum). Veranschaulicht könnte man sagen: Der Gläubiger sät die Kreditsumme   zum Zeitpunkt Null. Dafür erntet er jedes Jahr die Menge   und nach   Jahren ist das Geld gerade aufgebraucht. Nach einem Jahr hat sich die Kreditsumme   um   auf   vermehrt. Der Gläubiger könnte also immer   ernten, ohne dass sich der Grundbestand je verringerte. Daraus folgt   als heutiger Wert für eine unendliche jährliche Rente zum Zinssatz  .

Was ist eine Auszahlung in Höhe von   nach   Jahren bei einem Zins von   heute wert? Da das Geld in   Jahren auf das  -fache anwächst, könnte ich heute die Menge   säen und das Geld würde in   Jahren gerade auf   anwachsen. Somit ist   der heutige Wert dieser zukünftigen Auszahlung. Den heutigen Wert zukünftiger Zahlungsströme nennt man auch Kapitalwert oder Barwert.

Es sei   der Kredit, der dem Schuldner zum Zeitpunkt   gewährt wird.   sei die jährliche Rate, die der Schuldner über die Laufzeit von   Jahren zahlt und   sei der jährliche Zins. Dann muss bei dem Annuitätendarlehen die Kreditsumme dem heutigen Wert aller zukünftiger Zahlungen entsprechen. Es gilt daher

 

mit der Formel für geometrische Reihen mit   und daraus folgt

 

Wenn die Kreditsumme  , der jährlicher Zins   und die Laufzeit   bekannt sind, kann die Rate   über

 

berechnet werden.


Der Ausdruck   wird auch Annuitätenfaktor genannt und ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors. Er wird häufig leicht umgeformt mit   angegeben. Den Rentenbarwertfaktors kann man sich auch anschaulich anders herleiten, nämlich als Differenz zweier unendlicher Renten, die um   Jahre versetzt sind.   ist der heutige Wert einer unendlichen Rente mit der ersten Auszahlung nach einem Jahr und   ist der heutige Wert einer unendlichen Rente mit der ersten Auszahlung nach   Jahren. Somit gilt

 

In der Praxis wird häufig anstatt der Laufzeit   eine Anfangstilgung   vorgegeben. Diese gibt an, um welchen Anteil sich die Kreditsumme   nach dem ersten Jahr durch die Rate   verringert. Es gilt

 

In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen und deren jeweilige Bedeutung aufgelistet.

Bezeichnung Bedeutung Einheit
  Kreditsumme EUR
  Jährliche Rate EUR
  Jährlicher Zins -
  Anfangstilgung -
  Laufzeit Jahre
  Restschuld nach   Jahren EUR
  Tilgungsrate im  -ten Jahr EUR
  Zinslast im  -ten Jahr EUR
  Tilgung im  -ten Jahr -
  Monatliche Rate EUR
  Monatlicher Zins -
  Nominalzins nach Definition der Banken -
  Anfangstilgung nach Definition der Banken -
  Jährliche Rate nach Definition der Banken EUR

Berechnungen

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Wir betrachten nun die fünf Größen Kreditsumme  , jährliche Rate  , jährlicher Zins  , Laufzeit   und Anfangstilgung  . Bekannt sind die beiden Gleichungen

 

Wenn drei der fünf Größen vorgegeben sind, können wir die restlichen zwei über die Gleichungen bestimmen. Die relevanten Fälle werden im Folgenden vorgestellt.

S, i, n vorgegeben, Berechnung von R, t

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S, i, t vorgegeben, Berechnung von R, n

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S, i, R vorgegeben, Berechnung von n, t

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S, R, n vorgegeben, Berechnung von i

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Der Zins   lässt sich bei gegebenen   nicht explizit berechnen. Dieses ist nur iterativ z.B. mit dem Newton-Verfahren möglich. Dieses Verfahren konvergiert quadratisch, ist aber nur lokal konvergent - man benötigt also einen guten Startwert. Voraussetzung für einen sinnvollen Zins ist  . Wir setzen

 

  ist eine stetige Funktion und mit dem Fixpunktsatz von Banach konvergiert die Fixpunktiteration in einer geeigneten Umgebung der Nullstellen von   gegen diese. Die Ableitung lautet

 

Ausgehend von einem guten Startwert   können wir uns über die Rekursion

 

sukzessive dem Zinssatz   annähern. Ein guter Startwert unter den Voraussetzungen   und   ist

 

Wegen   ist hier   gewährleistet.

Berechnung der Restschuld nach k Jahren

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Bei einem Annuitätendarlehen lässt sich die Restschuld   nach   Jahren mit   wie folgt bestimmen

 

S, R, Sk vorgegeben, Berechnung von i

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Der Zins   lässt sich auch hier nicht explizit berechnen. Hier wird wieder ein Verfahren auf Basis des Newton-Verfahrens vorgestellt. Voraussetzung für einen sinnvollen Zins ist  . Wir setzen

 

  ist eine stetige Funktion und mit dem Banachschen Fixpunktsatz konvergiert die Fixpunktiteration in einer geeigneten Umgebung der Nullstellen von   gegen diese. Die Ableitung lautet

 

Ausgehend von einem guten Startwert   können wir uns über die Rekursion

 

sukzessive dem Zinssatz   annähern. Ein guter Startwert unter den Voraussetzungen   und   ist hier

 

Rekursive Berechnungen der Restschuld, jährlichen Zinslast und Tilgungsraten

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Die rekursive Darstellung ist insbesondere für Tabellenkalkulationsprogramme hilfreich. Es sei   die Restschuld in Euro,   die Tilgungsrate in Euro und   die Zinslast in Euro jeweils zu Beginn des  -ten Jahres. Außerdem sei   die relative Tilgung durch  -te Rate. Dann gelten die Beziehungen

 

Hieraus folgt

 

und es folgen die weiteren Rekursionen

 

Anhand der letzten Gleichung ergibt sich sofort, dass bei fester Anfangstilgung   die relativen Tilgungen in Periode   höher sind, je größer der Zins   ist. Das bedeutet, dass bei fester Anfangstilgung die Laufzeit geringer ist je höher der Zins ist. Insbesondere gilt   für  .

Die Rekursionen für monatliche Größen ergibt sich, indem man die jährlichen Größen in den Formeln jeweils durch die entsprechenden monatlichen Größen ersetzt.

Unterjährige Ratenzahlung

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In vielen Fällen macht es Sinn, die jährliche Rate auf kleinere Raten zu verteilen, die dann mehrmals im Jahr zu zahlen sind. So kann es z.B. bei Arbeitnehmern, die ein monatliches Einkommen beziehen, sinnvoll sein, auch die Raten eines Darlehens monatlich zu zahlen. Das gibt dem Gläubiger eine größere Sicherheit und führt für den Schuldner zu einer besseren Planbarkeit seines monatlichen Budgets. Nun stellt sich die Frage: Wenn das Geld in einem Jahr um   wächst, um wie viel wächst es dann in einem Monat? Das monatliche Wachstum bezeichnen wir mit  . Wenn wir die Dauer eines Monats als ein Zwölftel der Dauer eines Jahres definieren, folgt aufgrund des exponentiellen Wachstums

 

als Wachstumsrate in einem Monat. Die erste jährliche Rate   ist zum Zeitpunkt 0 etwas weniger Wert, da sie ja im ersten Jahr mit dem Wachstumsfaktor   wächst. Die monatliche Rate  , die zum ersten Mal einen Monat nach Empfang der Kreditsumme zu entrichten wäre, ergibt sich daher durch

 

und es folgt

 

Die Fälle anderer unterjähriger Zahlungen lassen sich analog behandeln, in dem man die 12 in den Formeln jeweils durch die Anzahl der Zahlungen   pro Jahr ersetzt. Voraussetzung ist, dass die Zahlungen regelmäßig erfolgen und zum ersten Mal nach   des Jahres. Die Laufzeit ändert sich durch eine unterjährige Ratenzahlung nicht!

Annuitätenrechnung der Banken

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Bei der Anwendung der oben genannten Formeln stellt man im Vergleich mit Angeboten einer Bank oder mit Online-Annuitätenrechnern häufig Unterschiede fest. In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie diese Unterschiede zustande kommen. Um diesen Sachverhalt möglichst anschaulich zu beschreiben, werden wir uns dabei auf den Fall der monatlichen Ratenzahlung beschränken. Alle anderen Fälle wie vierteljährliche oder halbjährliche Ratenzahlungen sind analog zu betrachten. In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen der Größen dargestellt, die im Folgenden verwendet werden.

Bezeichnung Bedeutung Einheit
  Kreditsumme EUR
  Jährliche Rate EUR
  Jährlicher Zins -
  Anfangstilgung -
  Laufzeit Jahre
  Restschuld nach   Monaten EUR
  Monatliche Rate EUR
  Monatlicher Zins -
  Nominalzins nach Definition der Banken -
  Anfangstilgung nach Definition der Banken -
  Jährliche Rate nach Definition der Banken EUR
  Laufzeit Monate

Abweichung von Zins, Rate und Anfangstilgung

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Die Banken werben häufig mit einem Zins, dem sogenannten Nominalzins. Dieser Nominalzins der Banken stimmt aber nur dann mit dem tatsächlichen Zins überein, wenn die Raten nicht unterjährig bezahlt werden. Bei der Berechnung von jährlicher zu monatlicher Rate teilt die Bank die jährliche Rate durch 12. Sie vernachlässigt hierbei, dass sie die jährliche Rate nun über das Jahr verteilt früher bekommt. Das erhöht den eigentlichen Zins   gegenüber den von der Bank angegebenen Nominalzins. Wir bezeichnen nun die Werte wie sie von der Bank festgelegt werden mit einem Hut  , wenn sie mit den tatsächlichen Werten nicht übereinstimmen. Die Werte, die in jedem Fall übereinstimmen sind die Kreditsumme  , der monatliche Zins   und die monatliche Rate  . Die Bank geht aus von der Kreditsumme  , dem jährlichen Zins   und der Anfangstilgung  . Die jährliche Rate   berechnet sie aus

 

und die monatliche Rate aus

 

Hieraus berechnen wir nun die tatsächlichen Werte. Zunächst ergibt sich der monatliche Zins aus

 

Der tatsächliche Zins   ergibt sich aus der Gleichung

 

Dieser tatsächliche Zins   muss nach der Preisangabenverordnung in dem effektiven Jahreszins berücksichtigt und ausgewiesen werden. Wenn keine weiteren Gebühren anfallen, entspricht   dem effektiven Jahreszins. Für die tatsächliche jährliche Rate   gilt

 

Der tatsächliche Zins und die tatsächliche jährliche Rate sind somit bei monatlicher Ratenzahlung höher als jene, die von der Bank ausgewiesen werden. Für kleine   ergeben sich kleine Abweichungen, für große   jedoch sehr große Abweichungen wie folgende Beispiele zeigen:

  • Bei   ergibt sich  . Der tatsächliche Zins liegt also 0,5% höher als der Nominalzins der Bank.
  • Bei   ergibt sich  . Der tatsächliche Zins liegt also 34025% höher als der Nominalzins der Bank.

Nun bestimmen wir mit bekannten Formeln die (weiterhin auf das Jahr bezogene) tatsächliche Anfangstilgung   und die Laufzeit   in Jahren.

 

Ein Tilgungsplan auf Basis von monatlichen Größen ist somit korrekt, ein Tilgungsplan auf Basis der jährlichen Größen der Bank wäre dagegen nicht korrekt, wenn auf beschriebene Art monatliche Ratenzahlung vereinbart wird.

Berechnung der Laufzeit und der letzten Rate

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Die Laufzeit ist in der Regel eine krumme Zahl. In der Praxis wird die Laufzeit in Monaten berechnet, aufgerundet und im letzten Monat dann eine kleinere Rate vereinbart. Die Anfangstilgung im ersten Monat   ist definiert durch

 

Es sei   die Laufzeit in Monaten. Dann ist   die abgerundete Laufzeit in Monaten, die angibt, wie viele volle monatliche Raten gezahlt werden müssen. Die tatsächliche Laufzeit in Monaten erhält man durch   aufgerundet, wobei die letzte Rate üblicherweise niedriger ist. Wir berechnen nun die letzte Monatsrate. Die Restschuld   vor der letzten Rate beträgt

 

und die letzte Rate lässt sich daher ermitteln über

 

Im Übrigen gelten die folgenden nützlichen Beziehungen:

 

Wenn man mit   die Anzahl der unterjährigen Ratenzahlungen bezeichnet, ergibt sich also allgemein für die Laufzeit in Jahren: