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Quadratische Variation

Quadratische Variation

Die quadratische Variation wird definiert durch

$\!\,[X]_{t}:=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}$

• für einen stetigen Prozess X mit endlicher Variation gilt

$\!\,[X]_{t}=0$

• für einen càdlàg-Prozess X mit endlicher Variation gilt

$\!\,[X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}\Delta X_{s}^{2}$

• für einen Wiener-Prozess X gilt

$\!\,[X]_{t}=t$

• für einen verallgemeinerten Wiener-Prozess X gilt

$\!\,[X]_{t}=$

• für einen Itō-Prozess X gilt

$\!\,[X]_{t}=\int _{0}^{t}b(X_{s},s)^{2}\,ds$

• für ein Semimartingal X gilt

$\!\,[X]_{t}=X_{t}^{2}-X_{0}^{2}-2\int _{0}^{t}X_{s-}\,dX_{s}$

Verallgemeinerter Wiener-Prozess

Verallgemeinerter Wiener-Prozess

Itō-Prozess

Als Itō-Prozess wird ein verallgemeinerter Wiener-Prozess X bezeichnet, dessen Parameter a und b zusätzlich Funktionen des Prozesses selbst und der Zeit sein können und der somit darstellbar ist in Differential-Form als

$dX_{t}=a(X_{t},t)\,dt+b(X_{t},t)\,dW_{t}$

bzw. in Integral-Form als

$X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}a(X_{s},s)\,ds+\int _{0}^{t}b(X_{s},s)\,dW_{s}$

Wichtiges Beispiel für einen Itō-Prozesses ist die geometrische brownsche Bewegung, mit der im Black-Scholes-Modell der Preisprozess einer Aktie modelliert wird.

Literatur

• Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-00313-7.