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Der Kretschmann-Skalar (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.[1]

Definition

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Der Kretschmann-Skalar ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

.

Hierbei bezeichnet den Riemannschen Krümmungstensor und .

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor , den Ricci-Tensor sowie den Ricci-Skalar wie folgt ausgedrückt werden:[2]

Beispiele

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Kretschmann-Skalar der Schwarzschild-Metrik

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Für die Schwarzschild-Metrik[3]

mit der Zeitkoordinate , den Kugelkoordinaten und dem Schwarzschild-Radius ist der Kretschmann-Skalar gegeben durch:[4]

Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius völlig harmlos. Die Divergenz von bei zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt[5].

Kretschmann-Skalar der Kerr-Metrik

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Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse und des Drehimpulses lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter in Boyer-Lindquist Koordinaten[6] mit

mit den Größen , und . Dann ist der Kretschmann-Skalar[7][8]

Der Kretschmann-Skalar geht für die verschwindende Rotation über in !

hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei[9]

Bei dieser Singularität wird . In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten[10] und gilt

Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius , der in der --Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für und diskutieren Stephen Hawking und George Ellis[11].

Die Größe ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar vorkommt[12].

Einzelnachweise

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  1. Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
  2. Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
  3. Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 168.
  4. Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 169.
  5. Zee, A.: Einstein Gravity in a Nutshell. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2013, ISBN 978-0-691-14558-7, S. 365.
  6. Padmanabhan, T.: Gravitation - Foundations and Frontiers. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-88223-1, S. 366.
  7. Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
  8. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. 2008, arxiv:0706.0622.
  9. McMahon, David: relativity DeMYSTiFied - a self-teaching guide. 1. Auflage. McGraw Hill, New York 2006, ISBN 0-07-145545-0, S. 252.
  10. S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 162.
  11. S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 163.
  12. Straumann, Norbert: General Relativity - With Applications in Astrophysics. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 3-540-21924-2, S. 564.

Kategorie:Riemannsche Geometrie Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie

Backup vom 4. März 2019

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Der Kretschmann-Skalar   (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.[1]

Definition

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Der Kretschmann-Skalar   ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

 .

Hierbei bezeichnet   den Riemannschen Krümmungstensor und  .

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor  , den Ricci-Tensor   sowie den Ricci-Skalar   wie folgt ausgedrückt werden:[2]

 

Beispiel

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Für die Schwarzschild-Metrik ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius   gegeben durch:[3]

 

Einzelnachweise

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  1. Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
  2. Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
  3. Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.

Kategorie:Riemannsche Geometrie Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie