Rundschnitt Bearbeiten
Ein Rundschnitt (auch Knotenpunktverfahren) ist ein Verfahren der Baustatik und wird häufig bei Fachwerken verwendet. Beim Rundschnitt wird ein Knoten gedanklich herausgeschnitten, dieser muss sich im (dynamischen) Gleichgewicht befinden, dazu nimmt man das (vektorielle) Kraftgleichgewicht zuhilfe. Das (vektorielle) Momentengleichgewicht um einen einzelnen idealen Fachwerksknoten sind damit automatisch erfüllt, da laut Theorie alle Stäbe ausschließlich Normalkräfte haben, deren Wirkungsline in der Stabachse liegt. Diese Wirkunglinien gehen laut Therorie genau durch den (gelenkigen) Knoten, deshalb ist die „Summe aller Momente gleich null“ um den Knoten trivial erfüllt. Für 2-D und 3-D-Fachwerke gilt, dass je Dimension gibt es eine lineare unabhänige Kraftgleichgewichtsbedinung. Wenn man mit den Winkel und Längen in der unverformten Lage rechnet, gilt die Berechnung nur für geometische Linearität und ist für eine baupraktische Anwendung hinreichend genau für „kleine“ Verdehungen.
2D Bearbeiten
Das Rundschnittverfahren wird üblicherweise für den „Sonderfall“ eines ebenen Fachwerks gelehrt, welches eine horizontale- und im rechten Winkel dazu vertikale Richtung hat. Hier kann man einen beliebigen Knoten herausschneiden, unabhänig wie viele unbekannte und bekannte Kräfte auf diesen Knoten wirken. Das Vektorielle Kraftgleichgewicht wird überlicherweise in die zwei skalaren linear unabhänigen Gleichgewichtsbedigungen Summe der Horizontalkräfte gleich Null und Summe der Vertikalkräfte gleich Null angeschrieben. Es kann jedes statisch bestimmte ideale Fachwerk ausschließlich mit Rundschnitt gelöst werden, auch die Auflagerkräfte können mit dem Rundschnittverfahren gelöst werden, jedoch ist es in der Regel einfacher die Auflagerreaktionen vorab zu ermitteln. Für die Lösung eines Fachwerkes wird dennoch oft eine Kombination aus Rundschnitt und Ritterschnitt verwendet um so möchst unabhänige Gleichungssysteme und somit leicht zu lösende Gleichungssysteme zu bekommen. Sind ausschließlich zwei oder weniger Kräfte eines Knotes, deren Wirkungslinien nicht parallel sind, noch unbekannt, kann man jede dieser Kräfte als eindimensionales unabhäniges Gleichungssystem lösen indem man die Summe der Kräfte in eine beliebige Richtung betrachtet die orthongonal zu allen anderen unbekannten Kräften dieses Knoten steht.
Einfaches Beispiel Bearbeiten
Ein statisch bestimmes Fachwerk mit horizontalen Stäben und Stäben unter einem Winkel von ±π/4 (≙±45°).
Die Kräfte können ein beliebiges Vielfaches von ein Newton sein.
Aufgrund von statischen Symmetriebedigungen folgt:
Da es ein Statisch bestimmtes Fachwerk ist, ist es vorteilhaft die vier unbekannten Auflagerkräfte (eine verikale, zwei horizontale Kräfte und ein Einspannmoment) mitels außerem (globalen) Gleichgewicht zu berechnen:
Das Auflagermoment im Obergurt ergibt sich zu Null, indem man die Querkraft des Obergurtes zu Null identifiziert, da keine vertikale Auflagerkraft vorhanden ist, das Moment beim Gelenk gleich Null ist und aufgrund der Differenzialbeziehung zwischen Moment und Querkraft, bei einer Querkraft gleich Null das Moment konstant ist.
Einführen von Stabbezeichnungen
Man schneidet einen beliebigen Knoten heraus. Um den Rechenaufwand gering zu halten ist es klug einen Knoten mit maximal 2 unbekannten Kräften auszusuchen, welche nicht parallel sind. (Der obere Knoten wäre unintelligent, weil dieser drei noch unbekannte Stabkräfte hat.) Um es übersichtlich zu halten nennt man die Normalkraft oft analog zu der Stabbezeichnung, was mathematisch nicht ganz korrekt ist. Korrekte schreibweise für z. B. die Normalkraft in dem Stab D1 könnte sein N_{D1}.
Man nimmt zum Beispiel das linke Auflager, bei dem 2 nicht parallele unbekannte Stabkräfte angreifen. ΣH=0 würde zu zwei unbekannten beinhalten und zu führen, dass D1+√(2)⋅U2=0, womit nicht sofort eine Stabkraft ermittelt werden könnte. Hingegen bei ΣV=0 (ortogonal zum Untergurt U1), taucht als einzige unbekannte die Diagonale D1 auf. ΣV=0 umgeschrieben als ΣVnachOben=ΣVnachUnten führt zu: 1⋅[N]+D1⋅sin(45°)=0 durch umformen folgt D1=-√(2)⋅[N]. Mit ΣVnachRechts=ΣVnachLinks folgt: (√(2)⋅[N])⋅cos(45°)=U1, damit ergibt sich U1=+1⋅[N]. Um Vorzeichen nicht zu vergessen empfiehlt es sich auch bei positiven Werten ein Vorzeichen dazu zu schreiben.
Jetzt sind nur mehr die Diagonale D2 und der Obergurt O4 unbekannt. Jetzt kann man D2 z.B. mit ΣV=0 beim (unteren) Symmetrieknoten berechnen und kommt darauf, dass es ein Nullstab ist, da außer D2 an dem Knoten keine anderen vertikalen Kräfte angreifen. Um die Richtigkeit der bisherigen Rechnung stichprobenartig zu kontrollieren kann man auch ΣHnachRechts=ΣHnachLinks an dem Knoten berechnen und bekommt 1⋅[N]=1⋅[N] und somit eine wahre Aussage.
Jetzt gibt es nur mehr einen Fachwerksknoten bei dem man noch einen Rundschnitt machen kann und zwar der Knoten oben. ΣV=0 führt bei korrekter Berechnung zu einer wahren Aussage (0=D1⋅sin(45°)+1⋅[N]). Für das Gleichgewicht ist es irrelevant ob es sich um eine äußere Einwirkung, eine Stabkraft oder eine Auflagerkraft handelt, deshalb wird es gleich behandelt. Mit ΣHnachRechts=ΣHnachLinks folgt: O4=D1⋅cos(45°) durch einsetzen bekommt man O4=-1⋅[N]
Somit ergibt sich für das gesammte Fachwerk:
D1=-√(2)⋅[N]
U2=1⋅[N]
D3=±0
O4=-1⋅[N]
U5=U2=1⋅[N]
D6=D3=±0
D7=D1=-√(2)⋅[N]
Abgrenzung des Begriffes Bearbeiten
Ein Rundschnitt kann als Sonderfall des Ritterschnitt betrachtet werden, bei dem ein Knoten, so herausgeschnitten, dass ausschlielich alle Stäbe dieses Knotens geschnitten werden.
meherere Knoten Bearbeiten
Einen Rundschnitt könnte man problemlos erweitern indem man mehrere Knoten herausschneidet und an das Kraftgleichgewicht betrachtet, jedoch wird das überweise als Ritterschnitt bezeichnet, auch wenn der Ritterschnitt üblicherweise das Momentengleichgewicht zur Hilfe zieht.
Momentengleichgewicht Bearbeiten
Prinzipiell wäre es möglich jeden Rundschnitt ausschließlich mit Momentengleichgewichtsbediungen die Gleichungssysteme aufzustellen. Im Prinzip ist auch ein Kraftgleichgewicht nichts anderes als ein Momentengleichgewicht eines Punktes der unendlich weit entfernt ist. Bei einem ideallen Fachwerksknoten ist es jedoch sinnfrei die Momente um den Knoten selbst zu betrachten, da sie trival erfüllt sind und keine Aussage der Stabachsenkräfte ermöglichen. Eine Sinnvolle Wahl von Punkten müsste linear unabhänig sein zu den Knotenpunkt und allen anderen „Betrachtungspunkten“ sein, um mit jedem Momentengleichgewicht eine neue linear unabhänige Gleichung aufstellen zu können.