Satz Für ein
f
∈
H
o
m
R
(
M
R
,
N
R
)
{\displaystyle f\in Hom_{R}(M_{R},N_{R})}
Die Abbildung
f
{\displaystyle f}
surjektiv .
f
{\displaystyle f}
Z
R
{\displaystyle Z_{R}}
g
,
h
∈
H
o
m
R
(
N
R
,
Z
R
)
{\displaystyle g,h\in Hom_{R}(N_{R},Z_{R})}
g
f
=
h
f
⇒
g
=
h
{\displaystyle gf=hf\Rightarrow g=h}
N
R
/
f
(
M
)
=
0
{\displaystyle N_{R}/f(M)=0}
N
R
/
f
(
M
)
{\displaystyle N_{R}/f(M)}
Faktormodul von N modulo f(M) .Ein Homomorphismus, welcher die Eigenschaften des Satzes erfüllt heißt Epimorphismus. Die zweite Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist.
Die Identität
M
R
∋
m
↦
m
∈
M
{\displaystyle M_{R}\ni m\mapsto m\in M}
Ist
R
{\displaystyle R}
Integritätsring und
K
R
{\displaystyle K_{R}}
Quotientenkörper , so ist jeder Homomorphismus
0
≠∈
H
o
m
R
(
K
R
,
K
R
)
{\displaystyle 0\neq \in Hom_{R}(K_{R},K_{R})}
Es sei p eine Primzahl und
Z
[
p
−
1
]
=
{
z
⋅
p
−
i
|
z
∈
Z
,
i
∈
N
}
{\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]=\{z\cdot p^{-i}|z\in \mathbb {Z} ,i\in \mathbb {N} \}}
p
−
1
{\displaystyle p^{-1}}
M
Z
:=
Z
[
p
−
1
]
/
Z
{\displaystyle M_{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} [p^{-1}]/\mathbb {Z} }
M
Z
{\displaystyle M_{\mathbb {Z} }}
Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
Ist
f
∈
H
o
m
R
(
M
R
,
N
R
)
,
g
∈
H
o
m
R
(
N
R
,
Z
R
)
{\displaystyle f\in Hom_{R}(M_{R},N_{R}),\quad g\in Hom_{R}(N_{R},Z_{R})}
g
f
{\displaystyle gf}
g
{\displaystyle g}
K
e
r
n
(
g
)
+
f
(
M
)
=
N
{\displaystyle Kern(g)+f(M)=N}
![{\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]=\{z\cdot p^{-i}|z\in \mathbb {Z} ,i\in \mathbb {N} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5532fc2b17e36d7ee8ad865abf9c84005677509d)
![{\displaystyle M_{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} [p^{-1}]/\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b9a0bda1580d7909462aa3e8ec0b427abbd61a)
