Benutzer:Fb8cont/Jefimenkos Verallgemeinerung

Die Verallgemeinerung des Coublombschen Gesetzes und des Biot-Savart-Gesetzes auf zeitlich veränderliche Ladungsdichten und Stromdichten bezeichnet man als Jefimenkos Verallgemeinerung benannt nach Oleg Jefimenko (en).

Elektrisches Potential

Für das elektrische Potential φ(r, t), die sich aufgrund einer einer Ladungsdichte ρ(r, t) ergibt, gilt die Gleichung

$\Box \varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

und die Lösung ist $\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

Magnetisches Vektorpotential

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

$\Box \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-\mu _{0}\mathbf {j}$,

wobei $\Box$ der d'Alembert-Operator ist.

Die (inhomogene) Lösung dieser Gleichung ist das sog. retardierte Vektorpotential

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'$, mit $t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$.

Die homogene Lösung wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt.

Magnetisches Feld

${\vec {B}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\vec {j}}({\vec {r}}',t_{r})+{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}{\frac {\partial {\vec {j}}({\vec {r}}',t_{r})}{\partial t}}\right]\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

where r' is a point in the en:charge distribution, r is a point in space, and

$t_{r}=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}$ die retardierte Zeit.

Vergleich Biot-Savart:

${\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\vec {j}}({\vec {r}}')\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Elektrisches Feld

${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left(\rho ({\vec {r}}',t_{r})+{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}{\frac {\partial \rho ({\vec {r}}',t_{r})}{\partial t}}\right){\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {j}}({\vec {r}}',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Vergleich Coulombsches Gesetz:

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\int \rho ({\vec {r}}'){\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\ d{\vec {r}}'\;$.

Siehe auch

en:Jefimenko's equations

Kategorie:Elektrodynamik