Die Verteilungsfunktion der Standardgleichverteilung ist
F
1
(
x
)
=
{
0
,
wenn
x
≤
0
x
,
wenn
x
∈
]
0
,
1
]
1
,
wenn
x
>
1
.
{\displaystyle F_{1}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\x,&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\1,&{\text{wenn }}x>1{\text{.}}\\\end{cases}}}
Es sei
F
k
(
x
)
=
{
0
,
wenn
x
≤
0
F
k
,
1
(
x
)
,
wenn
x
∈
]
0
,
1
]
⋯
F
k
,
j
(
x
)
,
wenn
x
∈
]
j
−
1
,
j
]
⋯
F
k
,
k
(
x
)
,
wenn
x
∈
]
k
−
1
,
k
]
1
,
wenn
x
>
k
{\displaystyle F_{k}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\F_{k,\,1}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\\cdots \\F_{k,\,j}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]j-1,\,j]\\\cdots \\F_{k,\,k}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]k-1,\,k]\\1,&{\text{wenn }}x>k\\\end{cases}}}
die Verteilungsfunktion der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.
Es bezeichnet also
F
k
,
j
(
x
)
{\displaystyle F_{k,\,j}(x)}
]
j
−
1
,
j
]
{\displaystyle ]j-1,\,j]}
Im folgenden bezeichne
Z
k
{\displaystyle Z_{k}\,}
F
k
{\displaystyle F_{k}\,}
Für
x
∈
]
j
−
1
,
j
]
{\displaystyle x\in \,]j-1,j]}
F
k
+
1
,
j
(
x
)
=
P
(
{
Z
k
+
1
<
x
}
)
=
P
(
{
Z
k
+
Z
1
<
x
}
)
=
∫
−
∞
∞
P
(
{
Z
k
<
x
−
z
1
}
)
⋅
P
(
{
Z
1
∈
[
z
1
,
z
1
+
d
z
1
[
}
)
=
∫
0
1
P
(
{
Z
k
<
x
−
z
1
}
)
⋅
1
d
z
1
=
∫
0
1
F
k
(
x
−
z
1
)
d
z
1
Substitution:
y
=
x
−
z
1
=
∫
x
−
1
x
F
k
(
y
)
d
y
=
∫
x
−
1
j
−
1
F
k
,
j
−
1
(
y
)
d
y
+
∫
j
−
1
x
F
k
,
j
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{k+1,\,j}(x)&=P(\{Z_{k+1}<x\})\\&=P(\{Z_{k}+Z_{1}<x\})\\&=\int _{-\infty }^{\infty }P(\{Z_{k}<x-z_{1}\})\cdot P(\{Z_{1}\in \,[z_{1},z_{1}+dz_{1}[\})\\&=\int _{0}^{1}P(\{Z_{k}<x-z_{1}\})\cdot 1\,dz_{1}\\&=\int _{0}^{1}F_{k}(x-z_{1})\,dz_{1}&&{\text{Substitution: }}y=x-z_{1}\\&=\int _{x-1}^{x}F_{k}(y)\,dy\\&=\int _{x-1}^{j-1}F_{k,\,j-1}(y)\,dy+\int _{j-1}^{x}F_{k,\,j}(y)\,dy.\end{aligned}}}
funktion
F
k
+
1
{\displaystyle F_{k+1}\,}
F
k
{\displaystyle F_{k}\,}
Beispielsweise ergibt sich
F
2
(
x
)
=
{
0
,
wenn
x
≤
0
x
2
2
,
wenn
x
∈
]
0
,
1
]
−
x
2
+
4
x
−
2
2
,
wenn
x
∈
]
1
,
2
]
1
,
wenn
x
>
2
.
{\displaystyle F_{2}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\{\frac {x^{2}}{2}},&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\{\frac {-x^{2}+4x-2}{2}},&{\text{wenn }}x\in \,]1,\,2]\\1,&{\text{wenn }}x>2{\text{.}}\\\end{cases}}}
Die oben in Formeln und Bildern dargestellten Verteilungsdichten
f
k
{\displaystyle f_{k}\,}
![{\displaystyle F_{1}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\x,&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\1,&{\text{wenn }}x>1{\text{.}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200414c4eb210766b28d8fd5a3399d17af31bf13)
![{\displaystyle F_{k}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\F_{k,\,1}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\\cdots \\F_{k,\,j}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]j-1,\,j]\\\cdots \\F_{k,\,k}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]k-1,\,k]\\1,&{\text{wenn }}x>k\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d66249260da0840abd20039e2f9a6a9e6ebd2d)
![{\displaystyle ]j-1,\,j]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e206abd4ae14e221e947347bc10fe00dd196bcce)
![{\displaystyle x\in \,]j-1,j]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728aee4a8113098f98d8056df4a86161dbb476fe)
![{\displaystyle F_{2}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\{\frac {x^{2}}{2}},&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\{\frac {-x^{2}+4x-2}{2}},&{\text{wenn }}x\in \,]1,\,2]\\1,&{\text{wenn }}x>2{\text{.}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0e68452ac5b37b59f19b17549f67d60290aa27)
