Baric-Algebra

Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion (englisch baric, von griechisch βάρος báros, deutsch ‚schwer, gewichtig‘). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.

Definition

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra $A$ über einem Körper $K$ heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus $w\colon A\longrightarrow K$ gibt. $w$ wird Gewichtsfunktion genannt, $w(x)$ heißt Gewicht von $x\in A$.

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

Charakterisierungen

• Eine nicht-assoziative $k$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal $I\subset A$ gibt, so dass $A/I\cong k$
• Eine nicht-assoziative $n$-dimensionale $\mathbb {R}$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen $u_{1},u_{2},\dots ,u_{k}$ besteht eine Beziehung $u_{i}\cdot u_{j}=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ijk}u_{k}$ mit Koeffizienten $\gamma _{ijk}\in \mathbb {R}$, für welche gilt: $\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ijk}=1,\;\gamma _{ijk}\geq 0$.
• Eine nicht-assoziative $n$-dimensionale $\mathbb {R}$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein $(n-1)$-dimensionales Ideal $N\subset A$ gibt, für das gilt: $A^{\rm {2}}\nsubseteq N$.

Beispiele

• $\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative $\mathbb {R}$-Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu $\mathbb {R}$ isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
• $\mathbb {R} ^{2}$ mit zwei Basisvektoren $e_{1},e_{2}$, auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:

$e_{1}\cdot e_{1}=e_{2},\;e_{1}\cdot e_{2}=e_{1},\;e_{2}\cdot e_{1}=e_{2},\;e_{2}\cdot e_{2}=e_{1}$.

Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:

$(e_{1}\cdot e_{2})\cdot e_{2}\neq e_{1}\cdot (e_{2}\cdot e_{2})$.

Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist $w(\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}$.

• Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:

$\mathbb {R} ^{2}$ mit zwei Basisvektoren $a_{1},a_{2}$ und folgender Multiplikationstafel:

.	$a_{1}$	$a_{2}$
$a_{1}$	$a_{1}$	${1 \over 2}a_{1}+{1 \over 2}a_{2}$
$a_{2}$	${1 \over 2}a_{1}+{1 \over 2}a_{2}$	$a_{2}$

ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion $w(\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}$.

Literatur

• Rudolf Lidl, Johann Wiesenbauer: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9
• Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09978-6.
• I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. In: Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 59, 1939, S. 242–258