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Eine Banach-Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum , in dem es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, die homöomorph zu einem Banachraum ist.

DefinitionBearbeiten

Die Definition einer Banach-Mannigfaltigkeit unterscheidet sich nur insofern von der einer Mannigfaltigkeit, als dass die Karten

 

Bilder in einem (möglicherweise unendlichdimensionalen) Banachraum   haben und die verkette Abbildung

 

r-mal differenzierbar ist und daher die r-te Fréchet-Ableitung

 

existiert und eine stetige Funktion in Bezug auf die  -Normtopologie auf Teilmengen von   und der Operatornorm-Topologie auf   ist.

BeispieleBearbeiten

Wenn   ein Banachraum ist, so ist   eine Banach-Mannigfaltigkeit, deren Atlas eine einzige Karte beinhaltet, die global definiert ist. Ebenso ist eine offene Teilmenge   eines Banachraumes eine Banach-Mannigfaltigkeit.

Klassifizierungen und HomöomorphismenBearbeiten

Obwohl eine endlichdimensionale  -dimensionale Mannigfaltigkeit nicht global homöomorph zum   oder einer Teilmenge dieser ist, lassen sich in einem unendlichdimensionalen Rahmen einige Banach-Mannigfaltigkeiten bis auf Homöomorphie klassifizieren. Der Mathematiker David Henderson hat 1969 bewiesen, dass jede unendlichdimensionale, separable, metrische Banach-Mannigfaltigkeit als eine offene Teilmenge in den unendlichdimensionalen, separablen Hilbertraum eingebettet werden kann. Das Ergebnis ist eine noch allgemeinere Aussage, die lautet, dass dies für jede metrische Mannigfaltigkeit gilt, die durch Karten in einem separablen Fréchet-Raum definiert ist.[1]

Banach-BündelBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Banach-Mannigfaltigkeit   der Klasse   mit   welcher den Basisraum darstellt, ein topologischer Raum   als Totalraum und eine Abbildung  . Die Faser   habe die Struktur eines Banachraumes.

Sei   eine offene Überdeckung von  . Es gebe für jedes   einen Banachraum   und eine Abbildung  

 ,

sodass

  • die Abbildung   ein Homöomorphismus ist, welcher mit der Projektion zu   kommutiert und für alle   die induzierte Abbildung   auf der Faser  
 

eine stetige, invertierbare Abbildung und demzufolge ein Isomorphismus in die Kategorie der topologischen Vektorräume ist (im Rahmen einer üblichen Definition eines Faserbündels entspricht dies einer Übergangsfunktion).

  • Wenn   und   zwei Glieder der offenen Überdeckung sind, dann ist die Abbildung
 
 

ein Morphismus.   ist hierbei die Menge der stetigen linearen Abbildungen zwischen zwei topologischen Vektorräumen   und  .

Die Familie   heißt triviale Überdeckung für   und die Abbildungen   werden lokale Trivialisierung genannt. Diese Daten bestimmen eine Faserbündelstruktur auf der Banach-Mannigfaltigkeit  .

LiteraturBearbeiten

  • Eberhard Zeidler: Nonlinear functional analysis and its Applications. Vol.4. Springer-Verlag New York Inc., 1997.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. David Henderson: Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. Bull. Amer. Math. Soc. 75, 759–762 (1969).