Dirichletscher Approximationssatz

mathematischer Satz

Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Der Satz lautet: Zu jedem und jedem existieren ein und ein , so dass

Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch und Beachtung von , dass es zu jedem reellen unendlich viele Paare ganzer Zahlen gibt, die

erfüllen. Für rationale Zahlen haben fast alle solche Approximationen die Form , interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor .

Beispiel: Sei und . Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen um höchstens von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

Literatur

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  • Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.