Chow-Gruppe

mathematische Struktur
(Weitergeleitet von Algebraischer Zykel)

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition

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Sei   eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

 

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten   der Kodimension  . Ein Element   ist also eine endliche Summe

 

mit   und   irreduzible Untervarietät der Kodimension  .

Zwei Untervarietäten

 

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

 , welche flach über   ist,

sowie   mit

 

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe  .

Die Chow-Gruppe   ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

 .

Chow-Ring

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Das Schnittprodukt   von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

 

für alle  . Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

 

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts   definiert man das globale Schnittprodukt   durch

 

für die diagonale Einbettung  .

Beispiele

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  • Für jede glatte, irreduzible Varietät ist
 .
  •   ist die Picardgruppe
 .
  • Für den  -dimensionalen affinen Raum   gilt
  für  ,
 .
  • Für den  -dimensionalen projektiven Raum   gilt
  für  
  für  

Beziehung zur algebraischen K-Theorie

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Sei   der Funktionenkörper der Varietät   und   die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

 

wobei   die Menge aller Punkte von   der Dimension   ist.

Literatur

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  • Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, ISSN 0003-486X
  • William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323