Γ-Konvergenz

spezielle Konvergenzart für Funktionale

In der Variationsrechnung bezeichnet Γ-Konvergenz (Gamma-Konvergenz) eine spezielle Konvergenzart für Funktionale. Sie wurde von Ennio De Giorgi eingeführt. Ursprünglich wurde sie als G-Konvergenz bezeichnet, da sie für greensche Funktionale entwickelt wurde. Der Begriff Γ-Konvergenz entstand durch die Verallgemeinerung dieses Konvergenzbegriffes.

Definition

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Sei   ein topologischer Raum und   eine Folge von Funktionalen   auf  . Die Folge   konvergiert im Sinne der Γ-Konvergenz gegen den Γ-Grenzwert  , falls die folgenden zwei Bedingungen gelten:

  • Für jede konvergente Folge   in   mit Grenzwert   gilt
 
  • Zu jedem   gibt es eine Folge   in  , die gegen   konvergiert und
 
erfüllt.

Die erste Bedingung bedeutet, dass   eine „gemeinsame asymptotische untere Schranke“ für die   ist; die letztere Bedingung hingegen garantiert die Optimalität.

Eigenschaften

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  • Minimierer konvergieren gegen Minimierer: Eine Folge   heißt Minimalfolge für  , falls
 .
Falls nun   gegen   Γ-konvergiert und   eine Minimalfolge für   ist, so ist jeder Häufungspunkt   von   ein Minimierer von  , d. h.
 .
  • Γ-Grenzwerte sind stets unterhalbstetig.
  • Γ-Konvergenz ist stabil unter stetiger Störung: Falls   gegen   Γ-konvergiert und   stetig ist, dann ist   Γ-konvergent gegen  .
  • Eine konstante Folge von Funktionalen   muss nicht notwendigerweise gegen   Γ-konvergieren, sondern gegen die Relaxation von  , nämlich das größte unterhalbstetige Funktional unterhalb von  .

Anwendungen

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Eine wichtige Anwendung findet die Γ-Konvergenz in der Homogenisierungstheorie und der Dimensionsreduktion. Sie kann auch benutzt werden, um eine rigorose Begründung für den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen zu liefern, beispielsweise bei der Elastizitätstheorie. Weitere Anwendungsgebiete sind im Bereich von Phasenübergängen und Program Slicing zu finden. In der Optimierung dient die Γ-Konvergenz oftmals dazu, die Approximierbarkeit von Lösungen eines Optimierungsproblems durch Lösungen von regularisierten Optimierungsproblemen sicherzustellen.

Verwandte Konvergenzbegriffe

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Ein auf Banachräumen verwandter Konvergenzbegriff ist die Mosco-Konvergenz, die äquivalent ist zu gleichzeitiger Γ-Konvergenz bezüglich der Normtopologie und der schwachen Topologie.

Literatur

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  • Andrea Braides: Γ-convergence for Beginners. In: Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications. Band 22, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-850784-4.
  • Gianni Dal Maso: An Introduction to Γ-Convergence. In: Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Band 8, Birkhäuser, Basel 1993, ISBN 978-0-8176-3679-1.