Rhombendodekaeder als Basis
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Werden auf die 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Pyramiden mit den Flankenlängen
b
{\displaystyle b}
c
(
<
b
)
{\displaystyle c\,(<b)}
a
3
6
<
b
<
2
9
a
15
{\displaystyle {\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}<b<{\tfrac {2}{9}}a{\sqrt {15}}}
Für den o. g. minimalen Wert von
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
=
2
a
(
2
−
1
)
{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}
Nimmt
b
{\displaystyle b}
Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Überschreitet
b
{\displaystyle b}
Kuboktaederstumpf als Basis
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Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius .
Sei d die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch
a
=
2
7
d
60
+
6
2
{\displaystyle a=\,{\frac {2}{7}}\,d\,{\sqrt {60+6{\sqrt {2}}}}}
b
=
3
7
d
12
+
6
2
{\displaystyle b=\,{\frac {3}{7}}\,d\,{\sqrt {12+6{\sqrt {2}}}}}
c
=
2
7
d
30
−
3
2
{\displaystyle c=\,{\frac {2}{7}}\,d\,{\sqrt {30-3{\sqrt {2}}}}}
Im Folgenden bezeichne
a
{\displaystyle a}
a
>
b
>
c
{\displaystyle a>b>c}
Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
a
3
28
6
(
986
+
607
2
)
{\displaystyle V={\frac {a^{3}}{28}}\,{\sqrt {6\,(986+607{\sqrt {2}})}}}
Oberflächeninhalt
A
O
=
3
7
a
2
543
+
176
2
{\displaystyle A_{O}={\frac {3}{7}}\,a^{2}\,{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
2
402
+
195
2
194
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\,{\sqrt {\frac {402+195{\sqrt {2}}}{194}}}}
Kantenkugelradius
r
=
a
4
(
1
+
2
2
)
{\displaystyle r={\frac {a}{4}}\,(1+2{\sqrt {2}})}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
97
(
71
+
12
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{97}}\,(71+12{\sqrt {2}})}
Sphärizität
Ψ
=
756
π
(
986
+
607
2
)
3
6
543
+
176
2
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{756\,\pi \left(986+607{\sqrt {2}}\right)}}{6{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}}}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
112
543
+
176
2
{\displaystyle A={\frac {a^{2}}{112}}\,{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}
2. Seitenlänge
b
=
3
14
a
(
1
+
2
2
)
{\displaystyle b=\,{\frac {3}{14}}\,a\,(1+2{\sqrt {2}})}
3. Seitenlänge
c
=
a
14
(
10
−
2
)
{\displaystyle c=\,{\frac {a}{14}}\,(10-{\sqrt {2}})}
1. Winkel
cos
α
=
1
12
(
2
−
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =\,{\frac {1}{12}}\,(2-{\sqrt {2}})}
2. Winkel
cos
β
=
1
8
(
6
−
2
)
{\displaystyle \cos \,\beta =\,{\frac {1}{8}}\,(6-{\sqrt {2}})}
3. Winkel
cos
γ
=
1
12
(
1
+
6
2
)
{\displaystyle \cos \,\gamma =\,{\frac {1}{12}}\,(1+6{\sqrt {2}})}
Basis ist das Rhombendodekaeder (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a , b
Volumen
V
=
8
9
a
2
3
(
2
a
+
6
b
2
−
4
a
2
)
{\displaystyle V={\frac {8}{9}}a^{2}{\sqrt {3}}\left(2a+{\sqrt {6b^{2}-4a^{2}}}\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
8
a
9
b
2
−
4
a
2
{\displaystyle A_{O}=8a\,{\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}}
Pyramidenhöhe
k
=
1
3
9
b
2
−
6
a
2
{\displaystyle k={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-6a^{2}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
(
2
a
+
6
b
2
−
4
a
2
)
27
b
2
−
12
a
2
{\displaystyle \rho \,={\frac {a\,(2a+{\sqrt {6b^{2}-4a^{2}}})}{\sqrt {27b^{2}-12a^{2}}}}}
Flächenwinkela )
cos
α
1
=
9
b
2
−
2
a
(
4
a
+
3
6
b
2
−
a
2
)
18
b
2
−
8
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {9b^{2}-2a\,(4a+3{\sqrt {6b^{2}-a^{2}}})}{18b^{2}-8a^{2}}}}
Flächenwinkelb )
cos
α
2
=
3
b
2
−
4
a
2
9
b
2
−
4
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {3b^{2}-4a^{2}}{9b^{2}-4a^{2}}}}
Flächenwinkelc )
cos
α
3
=
3
b
2
4
a
2
−
9
b
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}={\frac {3b^{2}}{4a^{2}-9b^{2}}}}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
6
9
b
2
−
4
a
2
{\displaystyle A={\frac {a}{6}}\,{\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}}
3. Seitenlänge
c
=
1
3
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle c={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}}
1. Winkel
sin
α
=
a
b
9
b
2
−
4
a
2
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle \sin \,\alpha ={\frac {a}{b}}\,{\sqrt {\frac {9b^{2}-4a^{2}}{9b^{2}-3a^{2}}}}}
2. Winkel
sin
β
=
9
b
2
−
4
a
2
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle \sin \,\beta ={\sqrt {\frac {9b^{2}-4a^{2}}{9b^{2}-3a^{2}}}}}
3. Winkel
sin
γ
=
9
b
2
−
4
a
2
3
b
{\displaystyle \sin \,\gamma ={\frac {\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}{3b}}}
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
32
9
a
3
3
(
2
−
2
)
{\displaystyle V={\frac {32}{9}}a^{3}{\sqrt {3}}\,(2-{\sqrt {2}})}
Oberflächeninhalt
A
O
=
16
a
2
26
−
18
2
{\displaystyle A_{O}=16a^{2}{\sqrt {26-18{\sqrt {2}}}}}
Inkugelradius
ρ
=
2
a
3
+
2
21
{\displaystyle \rho =2a\,{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {2}}}{21}}}}
Flächenwinkela, b )
cos
α
1
,
2
=
−
1
7
(
2
+
3
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1,\,2}=-{\frac {1}{7}}\,(2+3{\sqrt {2}})}
Flächenwinkelc )
cos
α
3
=
−
3
14
(
3
+
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}=-{\frac {3}{14}}\,(3+{\sqrt {2}})}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
3
26
−
18
2
{\displaystyle A={\frac {a^{2}}{3}}{\sqrt {26-18{\sqrt {2}}}}}
2. Seitenlänge
b
=
2
a
(
2
−
1
)
{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}
3. Seitenlänge
c
=
a
35
−
24
2
3
{\displaystyle c=a\,{\sqrt {\frac {35-24{\sqrt {2}}}{3}}}}
1. Winkel
sin
α
=
2
57
+
37
2
438
{\displaystyle \sin \,\alpha =\,2\,{\sqrt {\frac {57+37{\sqrt {2}}}{438}}}}
2. Winkel
sin
β
=
4
23
−
3
2
438
{\displaystyle \sin \,\beta =\,4\,{\sqrt {\frac {23-3{\sqrt {2}}}{438}}}}
3. Winkel
sin
γ
=
1
3
6
−
2
2
{\displaystyle \sin \,\gamma =\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-2{\sqrt {2}}}}}
Das Hexakisoktaeder kommt in der Natur als Kristallform vor. Es ist die allgemeine Flächenform der hexakisoktaedrischen Kristallklasse m3 m.
Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als Spielwürfel (W48). 
![{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{756\,\pi \left(986+607{\sqrt {2}}\right)}}{6{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a768db8c5e7706727652b5c89418bf92bae7b997)
