Rhombentriakontaeder als Basis
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Werden auf die 30 Begrenzungsflächen eines Rhombentriakontaeders (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Pyramiden mit den Flankenlängen
b
{\displaystyle b}
c
(
<
b
)
{\displaystyle c\,(<b)}
a
10
50
+
10
5
<
b
<
a
10
70
+
2
5
{\displaystyle {\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\,<b<\,{\frac {a}{10}}{\sqrt {70+2{\sqrt {5}}}}}
Für den zuvor genannten minimalen Wert von
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
=
a
2
(
3
5
−
5
)
≈
0,854
102
⋅
a
{\displaystyle b={\frac {a}{2}}\,(3{\sqrt {5}}-5)\approx 0{,}854102\cdot a}
Nimmt b den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem Deltoidalhexakontaeder mit den Kantenlängen
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Überschreitet
b
{\displaystyle b}
Ikosidodekaederstumpf als Basis
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Konstruktion des Dreiecks am Ikosidodekaederstumpf Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Ikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisikosaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 165°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius .
Sei
d
{\displaystyle d}
a
=
2
5
d
15
(
5
−
5
)
{\displaystyle a={\frac {2}{5}}\,d\,{\sqrt {15\,(5-{\sqrt {5}})}}}
b
=
3
55
d
15
(
65
+
19
5
)
{\displaystyle b={\frac {3}{55}}\,d\,{\sqrt {15\,(65+19{\sqrt {5}})}}}
c
=
d
11
15
(
85
−
31
5
)
{\displaystyle c={\frac {d}{11}}\,{\sqrt {15\,(85-31{\sqrt {5}})}}}
Im Folgenden bezeichne
a
{\displaystyle a}
a
>
b
>
c
{\displaystyle a>b>c}
Basis ist das abgestumpfte Ikosidodekaeder (dualer archimedischer Körper).
Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
25
88
a
3
6
(
185
+
82
5
)
{\displaystyle V={\frac {25}{88}}a^{3}\,{\sqrt {6\,(185+82{\sqrt {5}})}}}
Oberflächeninhalt
A
O
=
15
44
a
2
10
(
417
+
107
5
)
{\displaystyle A_{O}={\frac {15}{44}}a^{2}\,{\sqrt {10\,(417+107{\sqrt {5}})}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
4
15
(
275
+
119
5
)
241
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{4}}\,{\sqrt {\frac {15\,(275+119{\sqrt {5}})}{241}}}}
Kantenkugelradius
r
=
a
8
(
5
+
3
5
)
{\displaystyle r={\frac {a}{8}}\,(5+3{\sqrt {5}})}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
241
(
179
+
24
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{241}}\,(179+24{\sqrt {5}})}
Sphärizität
Ψ
=
2
55
π
(
185
+
82
5
)
3
10
(
417
+
107
5
)
{\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{55\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(417+107{\sqrt {5}}\right)}}}}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
352
10
(
417
+
107
5
)
{\displaystyle A={\frac {a^{2}}{352}}\,{\sqrt {10\,(417+107{\sqrt {5}})}}}
2. Seitenlänge
b
=
3
22
a
(
4
+
5
)
{\displaystyle b={\frac {3}{22}}\,a\,(4+{\sqrt {5}})}
3. Seitenlänge
c
=
5
44
a
(
7
−
5
)
{\displaystyle c={\frac {5}{44}}\,a\,(7-{\sqrt {5}})}
1. Winkel
cos
α
=
1
30
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {1}{30}}\,(5-2{\sqrt {5}})}
2. Winkel
cos
β
=
1
20
(
15
−
2
5
)
{\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {1}{20}}\,(15-2{\sqrt {5}})}
3. Winkel
cos
γ
=
1
24
(
9
+
5
5
)
{\displaystyle \cos \,\gamma ={\frac {1}{24}}\,(9+5{\sqrt {5}})}
Basis ist das Rhombentriakontaeder (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlängen a , b
Volumen
V
=
2
a
2
(
2
a
5
+
2
5
+
20
b
2
−
2
a
2
(
5
+
5
)
)
{\displaystyle V=2a^{2}\left(2a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {20b^{2}-2a^{2}(5+{\sqrt {5}}}})\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
60
a
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
10
{\displaystyle A_{O}=60a\,{\sqrt {\frac {10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}{10}}}}
Pyramidenhöhe
k
=
10
b
2
−
a
2
(
5
+
5
)
10
{\displaystyle k={\sqrt {\frac {10b^{2}-a^{2}(5+{\sqrt {5}})}{10}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
(
a
50
+
20
5
+
50
b
2
−
5
a
2
(
5
+
5
)
)
5
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
{\displaystyle \rho ={\frac {a\left(a{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50b^{2}-5a^{2}(5+{\sqrt {5}}}})\right)}{5{\sqrt {10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}}}}}
Flächenwinkela )
cos
α
1
=
5
b
2
(
1
+
5
)
−
2
a
2
(
3
+
2
5
)
−
2
a
10
b
2
(
5
−
5
)
−
20
a
2
20
b
2
−
2
a
2
(
3
+
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {5b^{2}(1+{\sqrt {5}})-2a^{2}(3+2{\sqrt {5}})-2a{\sqrt {10b^{2}(5-{\sqrt {5}})-20a^{2}}}}{20b^{2}-2a^{2}(3+{\sqrt {5}})}}}
Flächenwinkelb )
cos
α
2
=
2
b
2
5
−
a
2
(
3
+
5
)
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {2b^{2}{\sqrt {5}}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}{10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}}}
Flächenwinkelc )
cos
α
3
=
a
2
(
1
−
5
)
+
2
b
2
5
a
2
(
3
+
5
)
−
10
b
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}={\frac {a^{2}(1-{\sqrt {5}})+2b^{2}{\sqrt {5}}}{a^{2}(3+{\sqrt {5}})-10b^{2}}}}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
10
{\displaystyle A={\frac {a}{2}}\,{\sqrt {\frac {10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}{10}}}}
3. Kantenlänge
c
=
5
b
2
−
a
2
5
5
{\displaystyle c={\sqrt {\frac {5b^{2}-a^{2}{\sqrt {5}}}{5}}}}
1. Winkel
sin
α
=
a
b
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
10
b
2
−
2
a
2
5
{\displaystyle \sin \,\alpha ={\frac {a}{b}}\,{\sqrt {\frac {10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}{10b^{2}-2a^{2}{\sqrt {5}}}}}}
2. Winkel
sin
β
=
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
10
b
2
−
2
a
2
5
{\displaystyle \sin \,\beta ={\sqrt {\frac {10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}{10b^{2}-2a^{2}{\sqrt {5}}}}}}
3. Winkel
sin
γ
=
1
b
10
b
2
−
a
2
(
3
+
5
)
10
{\displaystyle \sin \,\gamma ={\frac {1}{b}}\,{\sqrt {\frac {10b^{2}-a^{2}(3+{\sqrt {5}})}{10}}}}
Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
8
a
3
25
−
10
5
{\displaystyle V=8a^{3}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
Oberflächeninhalt
A
O
=
120
a
2
43
−
19
5
10
{\displaystyle A_{O}=120a^{2}\,{\sqrt {\frac {43-19{\sqrt {5}}}{10}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
25
+
9
5
22
{\displaystyle \rho =a\,{\sqrt {\frac {25+9{\sqrt {5}}}{22}}}}
Flächenwinkela, b )
cos
α
1
,
2
=
−
1
44
(
31
+
5
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1,\,2}=-{\frac {1}{44}}\,(31+5{\sqrt {5}})}
Flächenwinkelc )
cos
α
3
=
−
1
22
(
6
+
7
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}=-{\frac {1}{22}}\,(6+7{\sqrt {5}})}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
43
−
19
5
10
{\displaystyle A=a^{2}\,{\sqrt {\frac {43-19{\sqrt {5}}}{10}}}}
2. Seitenlänge
b
=
a
2
(
3
5
−
5
)
{\displaystyle b={\frac {a}{2}}\,(3{\sqrt {5}}-5)}
3. Seitenlänge
c
=
a
175
−
77
5
10
{\displaystyle c=a\,{\sqrt {\frac {175-77{\sqrt {5}}}{10}}}}
1. Winkel
sin
α
=
1
5
90
+
38
5
7
{\displaystyle \sin \,\alpha ={\frac {1}{5}}{\sqrt {\frac {90+38{\sqrt {5}}}{7}}}}
2. Winkel
sin
β
=
30
−
2
5
35
{\displaystyle \sin \,\beta ={\sqrt {\frac {30-2{\sqrt {5}}}{35}}}}
3. Winkel
sin
γ
=
2
5
4
−
5
{\displaystyle \sin \,\gamma ={\frac {2}{5}}{\sqrt {4-{\sqrt {5}}}}}
![{\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{55\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(417+107{\sqrt {5}}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d928b68d2c5c98b5667e86cf113e201bb25afdbf)
