Zwillingskreise des Archimedes

Bei den Zwillingskreisen des Archimedes handelt es sich um zwei Kreise, die in einen Arbelos (auch als Sichel des Archimedes bezeichnet) einbeschrieben sind.

Arbelos (schwarz) und Zwillingskreise des Archimedes (blau)

Definition und Eigenschaften

Die roten Kreise sind kongruent und flächengleich zum Arbelos:
$|BD|=|EF|$, $r_{k}={\frac {|DB|}{2}}={\frac {|EF|}{2}}={\sqrt {r_{1}r_{2}}}$

Zeichnet man in einem Arbelos die Senkrechte zum Durchmesser am Berührungspunkt der beiden inneren Halbkreise ein, so teilt sie diesen in zwei Teile, und in jedem dieser Teile gibt es einen Kreis, der den äußeren Halbkreis, den entsprechenden inneren Halbkreis und die Senkrechte berührt. Diese beiden Kreise bezeichnet man als die Zwillingskreise des Archimedes, da sie kongruent sind. Ihr Radius $r$ beträgt:

$r={\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}$

Hierbei bezeichnen $r_{1}$ und $r_{2}$ die Radien der beiden inneren Halbkreise des Arbelos.

Die gemeinsame Tangente eines Zwillingskreises und des zugehörigen inneren Halbkreises geht durch den Berührpunkt des anderen inneren Halbkreises mit dem äußeren Halbkreis. Der kleinste Kreis den die beiden Zwillingskreise von innen berühren ist flächengleich zum Arbelos.:

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Konstruktion eines Zwillingskreis

Bei einem gegebenen Arbelos bezeichnet man die drei Punkte auf der Grundseite mit $A$, $B$ und $C$, so dass der Halbkreis über $AC$ der äußere Halbkreis des Arbelos ist und die Halbkreise über $AB$ und $BC$ seine beiden inneren Halbkreise. Weiterhin bezeichne $D$ den Schnittpunkt der Senkrechten in $B$ mit dem äußeren Halbkreis und $M_{1}$ den Mittelpunkt der Strecke $AB$.

Nun konstruiert man die Tangente vom Punkt $C$ an den Halbkreis über $AB$. Diese berührt den Halbkreis in $T$ und schneidet die Strecke $BD$ in $S$. Anschließend konstruiert man die Winkelhalbierende des Winkels $\angle DST$ und die Gerade $M_{1}T$, diese schneiden sich in $U$, dem Mittelpunkt des Zwillingskreises, mit der Strecke $UT$ als dessen Radius. Den zweiten Zwillingskreis erhält man anhand einer entsprechenden Konstruktion mit dem Halbkreis über$BC$.

Historisches

Die Konstruktion findet sich im Buch der Lemmata, dessen Zuschreibung an Archimedes allerdings fraglich ist.

Siehe auch

• Archimedischer Kreis
• Bankoff-Kreise
• Apollonisches Problem – der allgemeine Fall der Konstruktion eines Berührkreises zu drei gegebenen Kreisen, Geraden oder Punkten

Literatur

• Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
• Leon Bankoff: Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?. Mathematics Magazine, Band 47, Nr. 4 (Sep., 1974), S. 214–218 (JSTOR)
• Clayton W. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu: Those Ubiquitous Archimedean Circles. Mathematics Magazine, Band 72, Nr. 3 (Jun., 1999), S. 202–213 (JSTOR)
• Shailesh A. Shirali: A generalisation of the arbelos theorem of Archimedes. The Mathematical Gazette, Band 95, Nr. 533 (Juli 2011), S. 197–205 (JSTOR)

Weblinks

Commons: Archimedes' twin circles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Animierter Beweis zu den Zwillingskreisen des Archimedes, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Eric Weisstein Archimedes Circles, Wolfram Mathworld
• Interaktives Diagramm, das zahlreiche Archimedische Kreise visualisiert (englisch)