Zwillingskreise des Archimedes

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Bei den Zwillingskreisen des Archimedes handelt es sich um zwei Kreise, die in einen Arbelos (auch als Sichel des Archimedes bezeichnet) einbeschrieben sind.

Arbelos (schwarz) und Zwillingskreise des Archimedes (blau)

Definition und Eigenschaften

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Die roten Kreise sind kongruent und flächengleich zum Arbelos:
 ,  

Zeichnet man in einem Arbelos die Senkrechte zum Durchmesser am Berührungspunkt der beiden inneren Halbkreise ein, so teilt sie diesen in zwei Teile, und in jedem dieser Teile gibt es einen Kreis, der den äußeren Halbkreis, den entsprechenden inneren Halbkreis und die Senkrechte berührt. Diese beiden Kreise bezeichnet man als die Zwillingskreise des Archimedes, da sie kongruent sind. Ihr Radius   beträgt:[1]

 

Hierbei bezeichnen   und   die Radien der beiden inneren Halbkreise des Arbelos.

Die gemeinsame Tangente eines Zwillingskreises und des zugehörigen inneren Halbkreises geht durch den Berührpunkt des anderen inneren Halbkreises mit dem äußeren Halbkreis. Der kleinste Kreis den die beiden Zwillingskreise von innen berühren ist flächengleich zum Arbelos.:[1]

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

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Konstruktion eines Zwillingskreis

Bei einem gegebenen Arbelos bezeichnet man die drei Punkte auf der Grundseite mit  ,   und  , so dass der Halbkreis über   der äußere Halbkreis des Arbelos ist und die Halbkreise über   und   seine beiden inneren Halbkreise. Weiterhin bezeichne   den Schnittpunkt der Senkrechten in   mit dem äußeren Halbkreis und   den Mittelpunkt der Strecke  .

Nun konstruiert man die Tangente vom Punkt   an den Halbkreis über  . Diese berührt den Halbkreis in   und schneidet die Strecke   in  . Anschließend konstruiert man die Winkelhalbierende des Winkels   und die Gerade  , diese schneiden sich in  , dem Mittelpunkt des Zwillingskreises, mit der Strecke   als dessen Radius. Den zweiten Zwillingskreis erhält man anhand einer entsprechenden Konstruktion mit dem Halbkreis über .[1]

Historisches

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Die Konstruktion findet sich im Buch der Lemmata, dessen Zuschreibung an Archimedes allerdings fraglich ist.

Siehe auch

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Literatur

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  • Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
  • Leon Bankoff: Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?. Mathematics Magazine, Band 47, Nr. 4 (Sep., 1974), S. 214–218 (JSTOR)
  • Clayton W. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu: Those Ubiquitous Archimedean Circles. Mathematics Magazine, Band 72, Nr. 3 (Jun., 1999), S. 202–213 (JSTOR)
  • Shailesh A. Shirali: A generalisation of the arbelos theorem of Archimedes. The Mathematical Gazette, Band 95, Nr. 533 (Juli 2011), S. 197–205 (JSTOR)
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Commons: Archimedes' twin circles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. a b c Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200