Zugeordnete Legendrepolynome

Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:

Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall nur dann, wenn und ganzzahlig sind mit .

Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.

DefinitionBearbeiten

 
Die zugeordneten Legendrepolynome für m=0 sind die gewöhnlichen Legendrepolynome.
 
Zugeordnete Legendrepolynome für m=1
 
Zugeordnete Legendrepolynome für m=2
 
Zugeordnete Legendrepolynome für m=3

Die zugeordneten Legendrepolynome werden als   bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:

 

wobei   das  -te Legendrepolynom ist

 .

Daraus ergibt sich

 

Zusammenhang mit LegendrepolynomenBearbeiten

Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für   in die Legendregleichung über, sodass   gilt.

OrthogonalitätBearbeiten

Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall   zwei Orthogonalitätsrelationen:

 
 

Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder   oder   ungleich 0 ist.

Zusammenhang mit der EinheitskugelBearbeiten

Am wichtigsten ist der Fall  . Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann

 

Da nach der Substitutionsregel

 

gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.

Über   werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

 

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.

Die ersten zugeordneten LegendrepolynomeBearbeiten

Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel

 

Die zugehörigen Startwerte der Rekursionsformel stellen sie wie folgt dar:

 

Die Relation zwischen den assoziierten Legendre-Polynomen mit positiven und negativen   stellt sich wie folgt dar.

 

Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu

       
   
     
       
     
   

Und mit   als Argument

       
   
     
       
     
   

Zugeordnete Legendrefunktionen 2. ArtBearbeiten

Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome   nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art   stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt   mit den Legendrefunktionen 2. Art  .

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten