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Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome, und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

und die ungeraden durch

wobei und nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: . ist der azimutale Winkel und ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome sind als

und , wenn ungerade ist, definiert.

Häufig werden sie zu normiert.

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EigenschaftenBearbeiten

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils   und eines winkelabhängigen Teils  :

 

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel   ändert den Wert des Polynoms nicht:

 

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über   vom Grad  , welches keine Potenz kleiner   enthält.   ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn   gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome   dar.

 

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Allgemein ist  

AnwendungenBearbeiten

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

LiteraturBearbeiten

  Commons: Zernike Polynomials – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

WeblinksBearbeiten