Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

für eine natürliche Zahl . Die ersten Woodall-Zahlen sind:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, … (Folge A003261 in OEIS)

GeschichteBearbeiten

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben.[1] Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Ähnliche FolgenBearbeiten

Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:

 

Infolge gilt:

 .

Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.[2]

Woodall-PrimzahlenBearbeiten

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten  , für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

  = 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, … (Folge A002234 in OEIS)
  = 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, … (Folge A050918 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

 

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.[3][4]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis   gibt.[5] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-ZahlenBearbeiten

  • Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).[6][7]
  • Die Primzahl   teilt die Woodall-Zahl  , wenn das Jacobi-Symbol   ist.[6]
  • Die Primzahl   teilt die Woodall-Zahl  , wenn das Jacobi-Symbol   ist.[6]
  • Es gilt:
  und   sind beide durch drei teilbar.
Jede weitere sechste Woodall-Zahl   ist ebenfalls durch   teilbar. Somit ist   nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index   nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 (modulo 6) ist.
  • Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):
  und  

Verallgemeinerte Woodall-ZahlenBearbeiten

Zahlen der Form   mit   bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung   ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl   eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil   wäre.[6]

Die kleinsten  , für die   prim ist, sind für aufsteigendes   = 1, 2, …:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von   zwischen 1 und 30.[8] Diese   wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für   die Bedingung   nicht gilt, aber trotzdem die Zahl   prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

   , sodass   prim ist untersucht bis OEIS-Folge
1 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1) alle Primzahlen Folge A008864 in OEIS
2 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602,… 14508061 Folge A002234 in OEIS
3 (1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, … 1058000 Folge A006553 in OEIS
4 (1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, … 1000000 Folge A086661 in OEIS
5 8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, … 1000000 Folge A059676 in OEIS
6 (1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, … 876000 Folge A059675 in OEIS
7 (2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, … 350000 Folge A242200 in OEIS
8 (1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, … 513000 Folge A242201 in OEIS
9 10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, … 975000 Folge A242202 in OEIS
10 (2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, … 500000 Folge A059671 in OEIS
11 (2, 8), 252, 1184, 1308, … 500000 Folge A299374 in OEIS
12 (1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, … 500000 Folge A299375 in OEIS
13 (2, 6), 563528, … 570008 Folge A299376 in OEIS
14 (1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, … 500000 Folge A299377 in OEIS
15 (2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, … 500000 Folge A299378 in OEIS
16 167, 189, 639, … 500000 Folge A299379 in OEIS
17 (2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, … 400000 Folge A299380 in OEIS
18 (1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, … 400000 Folge A299381 in OEIS
19 (12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, … 400000 Folge A299382 in OEIS
20 (1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, … 250000 Folge A299383 in OEIS
21 (2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, … 200000
22 (2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, 341351, … 200000
23 29028, … 200000
24 (1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, … 200000
25 (2), 68, 104, 450, … 500000
26 (3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, … 200000
27 (10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, … 450000
28 (2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, … 200000
29 26850, 237438, 272970, … 200000
30 (1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, … 200000

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist  . Sie hat 4.125.441 Stellen und wurde am 26. Oktober 2019 von Ryan Propper entdeckt.[9][10]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of   and  . In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151.
  2. Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch).
  3. PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·217016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018.
  4. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018.
  5. Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016.
  6. a b c d Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.
  7. Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94.
  8. Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016.
  9. Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2740879·322740879 - 1. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.
  10. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.