In jeder Richtung gleichmäßig konvexe Räume sind eine Klasse bestimmter normierter Räume, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Nach der englischen Bezeichnung „uniformly convex in each direction“ nennt man solche Räume auch UCED-Räume oder einfach UCED.

Definitionen

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Ein normierter Raum   ist bekanntlich gleichmäßig konvex, wenn für je zwei Folgen   aus  ,   und   stets   folgt.

Man erhält eine Abschwächung dieser Eigenschaft, wenn man die Konvergenz nur dann fordert, wenn die Differenzen   alle in dieselbe Richtung zeigen, genauer:

Ein normierter Raum   heißt gleichmäßig konvex in Richtung  , wenn für je zwei Folgen   aus  ,  ,   und   stets   folgt.

Ein normierter Raum   heißt in jeder Richtung gleichmäßig konvex oder kurz UCED, wenn   gleichmäßig konvex in jeder Richtung   ist.

Historische Bemerkung

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Der Begriff des UCED-Raums ist bei der Untersuchung sogenannter Tschebyschow-Zentren eingeführt worden. Dabei handelt es sich um folgende Konstruktion. Für einen normierten Raum   und zwei beschränkte Mengen   definiert man zunächst für  

 ,

das ist der maximale Abstand eines Elementes aus   zu  . Der kleinste dieser Abstände ist

 .

Diejenigen  , für die dieses Infimum tatsächlich angenommen wird, ist das sogenannte Tschebyschow-Zentrum von   in  :

 .

A. L. Garkavi interessierte sich für normierte Räume, in denen das Tschebyschow-Zentrum einer beschränkten Menge in einer konvexen Menge höchstens einelementig ist und kam so zu der hier beschriebenen Raumklasse.[1] In der Tat kann man zeigen, dass   für jede beschränkte Menge   und jede konvexe Menge   in einem UCED-Raum höchstens einelementig ist.

Charakterisierungen

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Für einen normierten Raum   sind folgende Aussagen äquivalent:[2]

  •   in jeder Richtung gleichmäßig konvex
  • Für jedes   und je zwei Folgen   folgt aus  ,   und   stets  .
  • Für jedes   und je zwei Folgen   mit  ,  ,   und   folgt  .
  • Für alle   gilt: Ist   und ist   eine Folge in   mit
 ,
so folgt  .
  • Es gibt ein  , so dass folgendes gilt: Ist   und ist   eine Folge in   mit
 ,
so folgt  .
  • Für alle   gibt es ein  , so dass folgendes gilt: Aus  ,   und   folgt  .

Beispiele

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  • Gleichmäßig konvexe Räume sind UCED, insbesondere also die Räume Lp([0,1]) und die Folgenräume   für  .
  • Allgemeiner sind sogar alle schwach gleichmäßig konvexen Räume UCED.
  • Die Umkehrung gilt nicht. Definiere dazu auf dem Hilbertraum   der quadrat-summierbaren Folgen
 
wobei   eine Nullfolge positiver reeller Zahlen sei. Dann ist   UCED aber nicht schwach gleichmäßig konvex, ja nicht einmal lokal schwach gleichmäßig konvex.[3]
  • L1-Räume, L-Räume und der Funktionenraum   der stetigen Funktionen auf   sind nicht UCED.

Eigenschaften

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  • UCED-Räume sind strikt konvex, die Umkehrung gilt nicht. Versieht man etwa   mit der Norm
 ,
so ist   ein strikt konvexer Banachraum, der nicht UCED ist.[4]
  • Unterräume von UCED-Räumen sind wieder UCED.
  • In UCED-Räumen ist das Tschebyschow-Zentrum einer beschränkten Menge in einer konvexen Menge höchstens einelementig, siehe dazu obige historische Bemerkung.
  • UCED-Räume haben normale Struktur, das heißt jede beschränkte, konvexe Menge hat normale Struktur.

Renormierbarkeit

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Die UCED-Eigenschaft kann durch Übergang zu einer äquivalenten Norm verlorengehen. Daher stellt sich umgekehrt die Frage, welche normierten Räume isomorph zu einem UCED-Raum sind, das heißt für welche normierten Räume es äquivalente Normen gibt, die ihn zu einem UCED-Raum machen, kurz: welche Räume UCED-renormierbar sind.

In diesem Zusammenhang gilt zunächst folgender auf V. Zizler zurückgehende[5]

  • Ein normierter Raum ist genau dann UCED-renormierbar, wenn es eine injektive, stetige, lineare Abbildung dieses Raums in einen UCED-Raum gibt.

Daraus ergibt sich der folgende Satz, der Beispiele für UCED-renormierbare Räume liefert:[6]

X ist in den folgenden Fällen isomorph zu einem UCED-Raum:

  • Der Dualraum   enthält eine abzählbare über   totale Menge, zum Beispiel wenn   oder   ein separabler Raum ist.
  •   ist isomorph zu einem   für eine beliebige Menge  .
  •   ist isomorph zu einem  -Raum für ein  -endliches Maß  .

Nicht alle normierten Räume sind UCED-renormierbar:   ist für überabzählbares   mit diskreter Topologie nicht UCED-renormierbar.[7]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. A. L. Garkavi: On the Čebyšev center of a set in a normed space, Investigations of Contemporary Problems in the Constructive Theory of Functions, Moskau (1961), Seiten 328–331
  2. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Satz 2.6.33. (Die dortige Formel zu (4) bzw. (5) ist fehlerhaft, es wird aber die korrekte Formel bewiesen. Die dortige Einschränkung auf Banachräume ist unnötig.)
  3. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Beispiel 2.6.43.
  4. A. L. Garkavi: The best possible net and the best possible cross-section of a set in a normed space, Isvestia Adad. Naku SSSR (1962), Band 26, Seiten 87–106
  5. V. Zizler: On some rotundity and smoothness properties of Banach spaces, Dissert. Math. Roszprawy (1971), Band 87, Seiten 5–33
  6. M. M. Day, R. C. James, S. Swaminathan: Normed Linear Spaces that are Uniformly Convex in Every Direction, Canadian J. Math, (1971), Band 23, Nr. 6, Seiten 1051–1059, Theorem 3
  7. M. M. Day, R. C. James, S. Swaminathan: Normed Linear Spaces that are Uniformly Convex in Every Direction, Canadian J. Math, (1971), Band 23, Nr. 6, Seiten 1051–1059, Theorem 2