Tschebyscheff-Ungleichung (Arithmetik)

mathematischer Satz
(Weitergeleitet von Tschebyschow-Summenungleichung)

Die Tschebyscheff-Ungleichung (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) ist eine Ungleichung der Mathematik.[1][2]

Sie besagt, dass für monoton gleich geordnete n-Tupel reeller Zahlen

 

und

 ,

die Beziehung

 .

gilt. Sind   und   hingegen entgegengesetzt geordnet, also beispielsweise

 

und

 ,

so gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung

 .

Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von   und   notwendig sind.

Beweis aus Umordnungs-Ungleichung

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Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich aus der Umordnungs-Ungleichung ableiten. Multipliziert man die rechte Seite aus, so ergibt sich

 

 
 
 
 

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun jede dieser   Summen (im Fall gleich geordneter Zahlen   und  ) kleiner oder gleich  , insgesamt erhält man also genau die gewünschte Beziehung

 .

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen   und   braucht die Umordnungs-Ungleichung nur in die umgekehrte Richtung angewendet werden.

Beweis mit vollständiger Induktion

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Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch mit vollständiger Induktion und Anwendung der Umordnungs-Ungleichung für den einfachsten Fall mit zwei Summanden beweisen. Der Induktionsanfang ist einfach zu führen. Im Induktionsschritt betrachtet man nun

 .

Wendet man nun auf den mittleren Summanden die Umordnungs-Ungleichung für zwei Summanden und auf den letzten Summanden die Induktionsvoraussetzung an, so ergibt sich (im Fall gleich geordneter Zahlen   und  )

 
 

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen   und   ist der Beweis analog.

Beweis aus Gleichungs-Formulierung

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Ein anderer Beweis ergibt sich direkt aus der Gleichung

 

bzw. allgemeiner mit Gewichten  

 .

Es gilt nämlich

 .

Mit Umbenennung der Indizes ergibt sich

 ,

insgesamt also genau die Behauptung:

 .

Verallgemeinerung

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Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch in der Form

 

schreiben. In dieser Form lässt sie sich auch auf mehr als zwei gleich geordnete n-Tupel verallgemeinern, wobei die betrachteten Zahlen allerdings größer oder gleich Null sein müssen: Für

 

mit

 

gilt

 

Der Beweis kann beispielsweise mit vollständiger Induktion nach   erfolgen, da ja für bezüglich   fallend geordnete nichtnegative Zahlen   auch deren Produkte

 

fallend geordnet und nichtnegativ sind.

Varianten

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Sind   auf   gleichsinnig monoton und ist   eine Gewichtsfunktion, d. h.   dann ist

 .

Zum Beweis integriert man die nichtnegative Funktion   ausmultipliziert nach x und y jeweils von 0 bis 1. Dies lässt sich weiter verallgemeinern:

Sind   auf   gleichsinnig monoton und nichtnegativ dann ist

 .

Und sind   auf   gleichsinnig monoton und nichtnegativ und ist   eine Gewichtsfunktion dann ist

 .

Dies ergibt sich wenn man x durch   substituiert.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Wiesbaden, Vieweg+Teubner, Verlag 2003, ISBN 3-322-96828-6, S. 99.
  2. Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, S. 54.