Tschebyscheff-Ungleichung (Arithmetik)

mathematischer Satz
(Weitergeleitet von Tschebyschow-Summenungleichung)

Die Tschebyscheff-Ungleichung (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) ist eine Ungleichung der Mathematik.[1][2]

Aussage Bearbeiten

Sie besagt, dass für monoton gleich geordnete n-Tupel reeller Zahlen

 

und

 ,

die Beziehung

 .

gilt. Sind   und   hingegen entgegengesetzt geordnet, also beispielsweise

 

und

 ,

so gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung

 .

Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von   und   notwendig sind.

Beweise Bearbeiten

Beweis aus Umordnungs-Ungleichung Bearbeiten

Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich aus der Umordnungs-Ungleichung ableiten. Multipliziert man die rechte Seite aus, so ergibt sich

 

 
 
 
 

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun jede dieser   Summen (im Fall gleich geordneter Zahlen   und  ) kleiner oder gleich  , insgesamt erhält man also genau die gewünschte Beziehung

 .

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen   und   braucht die Umordnungs-Ungleichung nur in die umgekehrte Richtung angewendet werden.

Beweis mit vollständiger Induktion Bearbeiten

Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch mit vollständiger Induktion und Anwendung der Umordnungs-Ungleichung für den einfachsten Fall mit zwei Summanden beweisen. Der Induktionsanfang ist einfach zu führen. Im Induktionsschritt betrachtet man nun

 .

Wendet man nun auf den mittleren Summanden die Umordnungs-Ungleichung für zwei Summanden und auf den letzten Summanden die Induktionsvoraussetzung an, so ergibt sich (im Fall gleich geordneter Zahlen   und  )

 
 

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen   und   ist der Beweis analog.

Beweis aus Gleichungs-Formulierung Bearbeiten

Ein anderer Beweis ergibt sich direkt aus der Gleichung

 

bzw. allgemeiner mit Gewichten  

 .

Es gilt nämlich

 .

Mit Umbenennung der Indizes ergibt sich

 ,

insgesamt also genau die Behauptung:

 .

Verallgemeinerung Bearbeiten

Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch in der Form

 

schreiben. In dieser Form lässt sie sich auch auf mehr als zwei gleich geordnete n-Tupel verallgemeinern, wobei die betrachteten Zahlen allerdings größer oder gleich Null sein müssen: Für

 

mit

 

gilt

 

Der Beweis kann beispielsweise mit vollständiger Induktion nach   erfolgen, da ja für bezüglich   fallend geordnete nichtnegative Zahlen   auch deren Produkte

 

fallend geordnet und nichtnegativ sind.

Varianten Bearbeiten

Sind   auf   gleichsinnig monoton und ist   eine Gewichtsfunktion, d. h.   dann ist

 .

Zum Beweis integriert man die nichtnegative Funktion   ausmultipliziert nach x und y jeweils von 0 bis 1. Dies lässt sich weiter verallgemeinern:

Sind   auf   gleichsinnig monoton und nichtnegativ dann ist

 .

Und sind   auf   gleichsinnig monoton und nichtnegativ und ist   eine Gewichtsfunktion dann ist

 .

Dies ergibt sich wenn man x durch   substituiert.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Wiesbaden, Vieweg+Teubner, Verlag 2003, ISBN 3-322-96828-6, S. 99.
  2. Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, S. 54.