Transkritische Bifurkation

Die transkritische Bifurkation beschreibt einen Vorgang, bei dem die Stabilität („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier Ruhelagen eines Systems vertauscht wird. Sie ist damit ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.

Illustration der transkritischen Bifurkation. Die stabile (rot) Ruhelage wird instabil (blau) und umgekehrt.
Bifurkationsdiagramm einer Transkritischen Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:

wobei der Bifurkationsparameter ist.[1]

Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:

Setzt man mit in die Normalform ein (d. h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt alle Terme der Ordnung , erhält man

für die zeitliche Entwicklung der Störung .

Für ist also ein stabiler Fixpunkt (d. h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und ein instabiler (die Störung wächst). Für ist es umgekehrt. Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt indifferent stabil.

Diskretes SystemBearbeiten

Die diskrete Logistische Abbildung

 

folgt abenfalls einer transkritischen Bifurkation. Sie besitzt die Fixpunkte   und  . Der Ursprpung   ist hier stabil für   und instabil für  , während   für   stabil ist und diese Stabilität für großere   verliert.[1]

Die logistische Gleichung kann aus der kontinuierlichen Normalform durch den Übergang   und die Transformation   gewonnen werden.

BeispielBearbeiten

Bei einem logistischen Wachstum ist die zeitliche Änderung einer Ressource   proportional zu ihrem derzeitigen Wert und zur Differenz dieses Werts von einer Schranke  , zum Beispiel bei der Anzahl an Tieren in einem bestimmten Gebiet. Die Proportionalitätskonstante sei  . Tritt zusätzlich ein Konsum dieser Ressource proportional zu ihrer momentanen Verfügbarkeit mit Proportionalitätskonstante   auf, beispielsweise durch Bejagung, dann lautet die Differentialgleichung

 

Dies lässt sich durch die Variablentransformation   in die Normalform überführen und man identifiziert  . Für   ist also   ein stabiler Fixpunkt: Würde ein Tier in das Gebiet ausgesetzt, würden die Jäger dieses sofort schießen und ein Anwachsen unterbinden. Der Fixpunkt   ist hingegen instabil: Schießen die Jäger auch nur kurzzeitig zu viel Wild, kann es sich nicht erholen und stirbt bei gleichbleibender Bejagung aus (strebt gegen  ). Für   ändert sich das Verhalten der Fixpunkte:   wird instabil, bei kurzzeitiger Erhöhung der Population wird nicht genügend Wild geschossen, um ein Anwachsen auf den Fixpunkt   zu verhindern. Dieser ist stabil, das heißt, sowohl bei kurzzeitig zu viel als auch zu wenig geschossenem Wild schwankt die Population nur um  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press, Boulder, CO 2000, ISBN 978-0-7382-0453-6, S. 50 f., 357 f.