Logistische Funktion

mathematische Funktion, Sigmoidfunktion

Die logistische Funktion charakterisiert eine stetige eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sättigungsprozessen aus der Klasse der sogenannten Sigmoidfunktionen mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung.

Noch bis ins 20. Jahrhundert wurde gelegentlich auch der Logarithmus mit dem italienischen Namen der logistischen Kurve (curva logistica) belegt. Heute ist der Name eindeutig der S-Funktion zugeordnet.

BeschreibungBearbeiten

 
Logistische Funktion für den Fall  

Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterien­population oder (annähernd) der Verbreitung einer Krankheit im Rahmen einer Epidemie. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource – die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe oder eine abnehmende Anzahl an Personen, die sich während einer Epidemie sorglos verhalten und damit der Gefahr einer Infektion aussetzen.

 
Beispiel einer Epidemie: Krankheits- und Todesfälle (schwarz) im Verlauf der Ebolafieber-Epidemie in Westafrika bis Juli 2014 (annähernd logistische Funktionen)

Zur Anfangszeit ist der Funktionswert nicht 0, sondern es gilt  .

Für das Bakterienbeispiel gilt also:

  • Der begrenzte Lebensraum bildet eine obere Schranke   für die Bakterienanzahl  .
  • Das Bakterienwachstum   ist proportional zu:
    • dem aktuellen Bestand  
    • der noch vorhandenen Kapazität  

Diese Entwicklung wird daher durch eine Bernoullische Differentialgleichung der Form

 

mit einer Proportionalitätskonstanten   beschrieben. Das Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

 

Der Graph der Funktion beschreibt eine S-förmige Kurve, ein Sigmoid. Am Anfang ist das Wachstum klein, da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte der Entwicklung (genauer: im Wendepunkt) wächst die Population am stärksten, bis sie durch die sich erschöpfenden Ressourcen gebremst wird.

Weitere AnwendungenBearbeiten

Die logistische Gleichung beschreibt einen sehr häufig auftretenden Zusammenhang und findet weit über die Idee der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus Anwendung. Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der logistischen Funktion nachgebildet werden. Weitere Anwendungsbereiche sind Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Sprache (Sprachwandelgesetz, Piotrowski-Gesetz) sowie die Entwicklung im Erwerb der Muttersprache (Spracherwerbsgesetz). Eine Anwendung findet die logistische Funktion auch im SI-Modell der mathematischen Epidemiologie.

Lösung der DifferentialgleichungBearbeiten

Sei  .   ist stetig. Es gilt, die Differentialgleichung   zu lösen.

Die Differentialgleichung lässt sich mit dem Verfahren „Trennung der Variablen“ lösen. Es gilt   für alle  , also ist die Abbildung   auf den reellen Zahlen wohldefiniert.

Nach der Trennung der Variablen ist die Lösung   der obigen Differentialgleichung also identisch mit der Lösung der Differentialgleichung

 .

Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist das obige Integral

 

wobei

 

Es gilt also, die Funktionsgleichung

 

zu lösen, solange die   zwischen   und   liegen, was wegen der Voraussetzung   angenommen werden kann. Dabei ist   der natürliche Logarithmus. Die Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten führt zu

 .

und anschließende Kehrwertbildung zu

 .

Wir bringen nun die   auf die linke Seite, bilden dann erneut den Kehrwert, und erhalten schließlich

 

und daraus

 

Setzen wir die Definition von   in die gefundene Lösung (**) ein, so kommen wir zur oben behaupteten Lösung der logistischen Differentialgleichung:

 

An dieser Funktionsgleichung liest man leicht ab, dass die Werte immer zwischen   und   liegen, weshalb die Lösung für alle   gilt. Das kann man im Nachhinein natürlich auch durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestätigen.

Berechnung des WendepunktsBearbeiten

Zur Bestimmung des Wendepunktes der Lösungsfunktion   bestimmen wir zunächst mittels Produktregel die Ableitungen

 

und bestimmen die Nullstelle   der zweiten Ableitung:

 
 
 
 

Damit kennen wir den Funktionswert im Wendepunkt und stellen fest, dass die Population im Wendepunkt gerade die halbe Sättigungsgrenze überschreitet. Zur Bestimmung von   verwenden wir für   die Lösungsformel und rechnen wie folgt:

 
 
 
 
 ;

Für   folgt mit   weiter:

 

Damit ist der Wendepunkt vollständig bestimmt und es gibt nur diesen einen. Durch Einsetzen von   in die erste Ableitung erhält man die maximale Wachstumsgeschwindigkeit:

 
 

Weitere DarstellungenBearbeiten

 
 
 

oder auch:

 , wobei   die oben berechnete Wendestelle ist:  

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. 3. printing. Springer, London u. a. 2005, ISBN 1-85233-536-X, (Springer undergraduate mathematics series).
  • Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. 3rd Edition. Wiley-Interscience, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-17082-8, (Wiley Series in Probability and Statistics. Texts and References Section).
  • Volker Oppitz, Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Quantitative Methoden der ökonomischen Analyse. Carl Hanser Verlag, München u. a. 2004, ISBN 3-446-22463-7.
  • Volker Oppitz: Gabler-Lexikon Wirtschaftlichkeitsrechnung. Mit Anwendersoftware für Praxis und Studium. Gabler-Verlag Wiesbaden 1995, ISBN 3-409-19951-9
  • Peter Schönfeld: Methoden der Ökonometrie. 2 Bände. Vahlen, Berlin u. a. 1969–1971.