Stochastisch vollständige Mannigfaltigkeit

Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist eine stochastisch vollständige Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit , auf der eine brownsche Bewegung definiert ist, welche dort fast sicher verweilt, egal in welchem Ausgangspunkt sie beginnt. Eine Verfeinerung des Begriffes ist der Begriff der lokalen Zeit auf Mannigfaltigkeiten.

Definition

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Sei   eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit und   der Wärmeleitungskern für den Laplace-Beltrami-Operator. Die Brownsche Bewegung auf   ist ein Markow-Prozess und ihre Übergangswahrscheinlichkeitsdichte ist der Wärmeleitungskern  . Die Mannigfaltigkeit   heißt stochastisch vollständig, wenn für ein (äquivalent für alle)   gilt

 .

Äquivalente Charakterisierungen

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Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann stochastisch vollständig, wenn für jedes   die Ungleichung   außer   keine nichtnegativen, beschränkten, glatten Lösungen hat. Äquivalent soll für jedes   die triviale Lösung   auf   die einzige beschränkte Lösung des Cauchy-Problems   mit   im  -Sinn sein.

Beispiele

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  ist stochastisch vollständig für  , aber nicht für  . Offene Teilmengen  , deren Abschluss nicht ganz   ist, sind nicht stochastisch vollständig. Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Schranke für die Ricci-Krümmung sind immer stochastisch vollständig.

Literatur

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  • A. Grigoryan: Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 36, 135–249 (1999)