Der Staiger-Wagner-Automat (benannt nach Ludwig Staiger und Klaus Wagner) ist ein ω-Automat und bildet ein Analogon zum Muller-Automaten. Die von Staiger-Wagner-Automaten erkannten Sprachen sind eine Untermenge der ω-regulären Sprachen.

Formale Definition

Bearbeiten

Ein Staiger-Wagner-Automat ist ein 5-Tupel   mit

  •   Zustandsmenge
  •   Eingabealphabet
  •   Startzustand
  •   Transitionsfunktion.
  •   und   für  

Eigenschaften

Bearbeiten

  akzeptiert   (z. B.   oder ... oder  ) gilt für den Lauf   von   auf dem Wort  .

Eine ω-Sprache ist genau dann Staiger-Wagner-erkennbar, wenn sie eine boolesche Kombination von 1-erkennbaren (s. unten) ω-Sprachen ist. Sie ist außerdem Staiger-Wagner-erkennbar, gdw. sie sowohl deterministisch Büchi-erkennbar als auch deterministisch co-Büchi-erkennbar ist.

Beispiel

Bearbeiten
 
Der zugehörige Automat

Sei   eine ω-Sprache über  

Ein deterministischer Staiger-Wagner-Automat, der L erkennt ist dann z. B.:
  mit   und
 1/a → 2, 1/b → 4, 1/c → 1,
      2/a → 3, 2/b → 4, 2/c → 1,
      3/a → 3, 3/b → 4, 3/c → 3,
      4/a → 4, 4/b → 4, 4/c → 4 

Genau dann wenn der Automat die Zustände 1, 2 und 3 aber nicht 4 besucht, wird α akzeptiert.

Verwandte Akzeptierungsbedingungen

Bearbeiten

Mit der Staiger-Wagner-Bedingung sind die beiden folgenden Akzeptierungsbedingungen nahe verwandt.

1-Akzeptierung

Bearbeiten

Hier gibt es nur eine Menge   akzeptierender Zustände und die Bedingung ist  .

1'-Akzeptierung

Bearbeiten

Auch hier gibt es nur eine Menge akzeptierender Zustände und die Bedingung lautet  .

Transformation in einen Büchi-Automaten

Bearbeiten

Um einen Staiger-Wagner-Automaten in einen Büchi-Automaten, der dieselbe Sprache erkennt, zu transformieren, werden im Allgemeinen exponentiell viele Zustände gebraucht. Diese Explosion der Zustandsmenge entfällt bei 1-Akzeptanz und 1'-Akzeptanz.

Literatur

Bearbeiten
  • Ludwig Staiger und Klaus W. Wagner, Automatentheoretische und automatenfreie Characterisierungen topologischer Klassen regulärer Folgemengen, Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik EIK, 10 (1974) 379–392.
  • Erich Grädel, Wolfgang Thomas und Thomas Wilke (Herausgeber), Automata, Logics, and Infinite Games, LNCS 2500, 2002, Seite 20 (auf Englisch)
  • Ludwig Staiger: ω-Languages. In: Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (Hrsg.): Handbook of Formal Languages. Band 3: Beyond Words. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60649-1, S. 339–387.
  • Wolfgang Thomas: Automata on Infinite Objects. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Handbook of Theoretical Computer Science. Band B: Formal Models and Semantics. Elsevier Science Publishers u. a., Amsterdam u. a. 1990, ISBN 0-444-88074-7, S. 133–192.
Bearbeiten
Commons: Staiger-Wagner-Automat – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien