In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Spindeltorus eine gewisse sich selbst durchdringende Fläche im dreidimensionalen Raum. Er entsteht durch Rotation eines Kreises um eine Rotationsachse, die in der Kreisebene liegt und deren Abstand vom Kreismittelpunkt kleiner als der Kreisradius ist.

Die drei verschiedenen Typen von Tori: Spindeltorus (-r<R<r), Horntorus (r=R) und Ringtorus (r<R). Bei R=0 entartet der Spindeltorus zur Kugel.

Spindeltorus als Rotationsfläche Bearbeiten

Ein Kreis mit Radius   und Mittelpunkt   hat die Gleichung

 

und zeigt je nach Größe von   in der rechten Halbebene des kartesischen Koordinatensystems verschiedene Bögen. Lässt man diese Bögen um die y-Achse rotieren, ergeben sich Spindeltori. Bei

 

zeigt sich ein Spindeltorus mit zwei Spitzen, bei

 

die Entartung zur Kugel und bei

 

die Einbuchtungen (Apfelform), die ab   das Torusloch öffnen.

Parametrisierung des Spindeltorus Bearbeiten

Der Spindeltorus mit   kann durch

 
 
 

mit   parametrisiert werden.

Volumen des Spindeltorus Bearbeiten

Das Volumenelement ist   wobei   der Abstand von der Drehachse, h die Höhe und   den Rotationswinkel bezeichnen. Aufgrund der vorhandenen Zylindersymmetrie findet man das Außenvolumen im Bereich   mit   als

 

Ab   ist dann das Volumen (die Untergrenze im Integral ist nun   anstatt 0)  . Die Oberfläche ergibt sich auch hier aus der Ableitung des Volumens nach dem Radius  :  .

 
Plattpfirsich

Trivia Bearbeiten

Zahlreiche Fruchtsorten sind dem Spindeltorus oder dem Horntorus ähnlich.

Weblinks Bearbeiten