Sobolevsche orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome bezüglich eines sobolevschen inneren Produktes, das heißt ein inneres Produkt mit Ableitungen. Dadurch ist der Multiplikationsoperator bezüglich des inneren Produktes nicht mehr kommutativ

und die Polynome verlieren ein paar gute Eigenschaften der klassischen orthogonalen Polynome. Zum Beispiel gelten Favards Theorem (somit auch die 3-Rekursionsrelation) und die Christoffel-Darboux-Formel nicht mehr. Klassische orthogonale Polynome sind allerdings auch sobolevsche orthogonale Polynome, da deren Ableitungen wieder orthogonale Polynome sind.

Sie sind nach Sergei Lwowitsch Sobolew benannt.

Sobolevsche orthogonale Polynome

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Seien   positive Borelmaße auf   mit endlichen Momenten. Betrachte das innere Produkt

 

mit zugehörigem Sobolev-Raum  , dann sind die sobolevschen orthogonalen Polynome   durch

 

definiert, wobei   das Kronecker-Delta bezeichnet. Man nennt solche Polynome auch sobolev-orthogonal.

Es existiert viel Literatur für den Fall  .

Kohärente Paare

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Sei   und betrachte das innere Produkt

 

Kohärent:

Sei   eine Folge von monischen orthogonalen Polynome (MOPS) bezüglich   und   eine MOPS bezüglich  . Dann bezeichnet man   als kohärent wenn eine reelle Folge   existiert, so dass für  [1]

 

Symmetrisch-Kohärent:

Falls  ,   und   symmetrisch sind, d. h. invariant unter der Transformation  , und eine reelle Folge   existiert, so dass für  

 

dann bezeichnet man   als symmetrisch-kohärent.

Selbst-Kohärent:

Falls   dann bezeichnet man   als selbst-kohärent.

Eigenschaften

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Sei   ein kohärentes Paar und   orthogonal bezüglich  . Weiter sei   eine Folge von Polynomen, welche sobolev-orthogonal bezüglich   sind und  . Unter passender Normalisierung von   und   besitzt   folgende Darstellung für  

 

wobei   unabhängig von   sind.

Daraus folgt die Rekursionsrelation

 

wobei   durch die   geschrieben werden kann.[2]

Literatur

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  • F. Marcellan und Y. Xu: On Sobolev orthogonal polynomials. 2014 (englisch).

Einzelnachweise

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  1. F. Marcellan and Y. Xu: On Sobolev orthogonal polynomials. In: Expositiones Mathematicae. Band 33, Nr. 3, 2014, S. 308–352, arxiv:1403.6249.
  2. A. Iserles, P.E. Koch, S.P. Nørsett, J.M. Sanz-Serna,: On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products. In: Journal of Approximation Theory. Vol. 65, Nr. 2, Mai 1991, doi:10.1016/0021-9045(91)90100-O.