Sierpiński-Konstante

mathematische Konstante

Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

wobei die Anzahl der Darstellungen von in der Form mit ganzen Zahlen und unter Beachtung der Reihenfolge, die Kreiszahl und der natürliche Logarithmus ist.

Darstellungsformen

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Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante   ist

 

mit der Euler-Mascheroni-Konstante   und der Gammafunktion  . Aufgrund der Relation

 

ergibt sich die alternative Darstellung

 

Die Dezimalentwicklung von   ist

  (Folge A062089 in OEIS)

rn(k)-Funktion

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0 1
1 4
2 4
3 0
4 4
5 8
6 0
7 0
25 12
65 16

(Folge A004018 in OEIS).

Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der Quadratsummen-Funktion (im Englischen als Sum of Squares bezeichnet)

 

für den Fall   auf (etwa um den Fall   geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist   = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während   = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen,   und  , jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

Literatur

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  • Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu  , gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe  , wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
  • Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)
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