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Sequentieller Likelihood-Quotienten-Test

(Weitergeleitet von Sequential Probability Ratio Test)

Ein Sequentieller Likelihood-Quotienten-Test kurz SLQT (englisch Sequential Probability Ratio Test, kurz SPRT oder Sequential Likelihood Ratio Test, kurz SLRT) ist in der Statistik ein sequentieller Hypothesentest. Statt mit einem festen Stichprobenumfang einen statistischen Test durchzuführen, wird beim nach jeder gemachten Beobachtung aufgrund aller bisher erfassten Daten getestet, ob eine Entscheidung für oder wider der Nullhypothese getroffen werden kann. Sollte dies nicht der Fall sein, wird die Beobachtung solange fortgesetzt, bis diese Entscheidung getroffen werden kann.

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

Entwickelt wurde der SLQT von A. Wald 1942 in den USA. Anwendung fand es vor allem in der Rüstungsindustrie, sodass eine allgemeinzugängliche Publikation erst 1947 erfolgte.

DefinitionBearbeiten

Untersucht wird die Realisation   einer Zufallsgröße   mit der Verteilung   und dem unbekannten Parameter  . Es wird dabei die Nullhypothese   gegen die Alternativhypothese   getestet. Dabei soll   mit höchstens   und   mit höchstens   als Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt werden.

Für einen festen Stichprobenumfang   mit den Beobachtungen   ist die Teststatistik als Likelihood-Quotient (Quotient zweier Likelihood-Funktionen) gegeben durch

 

Wählt man nun Entscheidungsgrenzen A und B, dann gelten für die Annahme der Hypothesen folgende Entscheidungsregeln:

  • Fortsetzung der Beobachtung, wenn gilt:  
  • Annahme von  , wenn gilt:  
  • Annahme von  , wenn gilt:  

Die EntscheidungsgrenzenBearbeiten

Die Festlegung von A und B muss derart gestaltet sein, das   und   eingehalten werden. Dies ist der Fall, falls:

 

 

Die Wahrscheinlichkeit   die untere Grenze zu erreichen bzw. zu überschreiten wird durch die Operating Characteristic Function angegeben. Die Wahrscheinlichkeit   die Alternativehypothese anzunehmen, und somit die obere Grenze zu überschreiten wird durch die Gütefunktion beschrieben. Dabei gilt das  .

BeispielBearbeiten

Als Beispiel soll die Herleitung des SLQT für einen 1-Stichprobenvergleich bei binären Daten dienen.

In einer klinischen Studie wird ein neues Medikament in einer Phase-II-Studie getestet. Dabei soll die Studie abgebrochen werden, sobald der Anteil an Patienten mit Nierenversagen innerhalb der ersten 24 Stunden ≥ 25 % ist. Ein Anteil von 10 % ist normal und annehmbar. Die vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeiten sind   und  .

Nach dem i-ten Patienten liegen y Beobachtungen mit und i-y Beobachtungen ohne Nierenversagen vor. Entsprechend dem Binomialkoeffizienten ist  .

Den Fortsetzungsbereich des SLQT erhält man nun durch Logarithmieren und Umformen:

 

Bei  ,  ,  ,   ergibt sich   als Fortsetzungsbereich.

LiteraturBearbeiten

  • Abraham Wald: Sequential Analysis John Wiley & Sons, New York NY u. a. 1947.
  • B.K. Ghosh: Sequential Tests of Statistical Hypotheses. Reading: Addison-Wesley 1970
  • Peter Bauer, Viktor Scheiber, Franz X. Wohlzogen: Sequentielle statistische Verfahren. Fischer, Stuttgart u. a. 1986, ISBN 3-437-20343-6.
  • Albrecht Irle: Sequentialanalyse: Optimale sequentielle Tests. Stuttgart: Teubner 1990
  • Holger Wilker: Sequential-Statistik in der Praxis, BoD, Norderstedt 2012, ISBN 978-3848232529.