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Gütefunktion

Eine Gütefunktion, auch Trennschärfefunktion oder Machtfunktion, ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Jedem statistischen Test kann eine Gütefunktion zugewiesen werden. Diese ordnet im parametrischen Fall jedem Parameter die mittlere Entscheidung zu, die der Test trifft, wenn der Parameter wirklich vorliegt. Viele statistische Konzepte wie die Trennschärfe oder das Niveau eines Tests finden sich in der Gütefunktion wieder oder können über diese definiert werden.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell   sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge   in Nullhypothese   und Alternative  . Des Weiteren sei ein statistischer Test

 

gegeben. Dann heißt die Funktion

 

definiert durch

 

die Gütefunktion des Tests  . Hierbei bezeichnet   den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes  . Somit gibt die Gütefunktion an der Stelle   an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der Test für die Alternative entscheidet, wenn das Wahrscheinlichkeitsmaß   vorliegt.

Ableitbare BegriffeBearbeiten

Die folgenden Begriffe lassen sich über die Gütefunktion definieren oder finden sich in ihr wieder.

Niveau eines TestsBearbeiten

 
Gütefunktion eines Binomialtests mit n = 30. Für alle Werte von p aus der Nullhypothese H0: p ≤ 0,2 liegt G(p) unter dem Signifikanzniveau α = 5 %.

Ist   ein Test zum Niveau  , so gilt

 .

Das Niveau eines Test ist somit eine obere Schranke für die Gütefunktion des Tests auf   und somit auch eine obere Schranke für Fehler 1. Art des Tests. Dementsprechend sind Tests mit effektiven Niveau   diejenigen, für die   eine kleinste obere Schranke für ihre Gütefunktion auf   ist und somit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art   ist.

Trennschärfe eines TestsBearbeiten

Die Trennschärfe eines Tests gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, sich für die Alternative zu entscheiden, wenn diese wirklich vorliegt. Somit ist die Trennschärfe des Tests   für vorliegendes   gegeben als  . Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei Vorliegen von   gegeben durch

 .

Einhüllende GütefunktionBearbeiten

Ist eine Menge von Tests   gegeben, so heißt die Funktion

 

definiert durch

 

die einhüllende Gütefunktion (engl. envelope power function). Sie ordnet jedem Element der Alternative den größten Trennschärfe-Wert aller Tests der Menge   zu. Anwendung findet sie beispielsweise bei der Formulierung von Optimalitätskriterien von Tests wie gleichmäßig besten Tests oder strengen Tests. So sind die gleichmäßig besten Tests gerade die Tests, deren Gütefunktion auf der Alternative mit der einhüllenden Gütefunktion übereinstimmen.

LiteraturBearbeiten