Schnelle Wavelet-Transformation

mathematisches Verfahren

Die schnelle Wavelet-Transformation, englisch fast wavelet transform, ist ein effizientes Verfahren zur Berechnung einer diskreten Wavelet-Transformation. Sie kann mit der Anwendung der schnellen Fourier-Transformation zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourier-Reihe verglichen werden.

KonstruktionBearbeiten

 
Analyse-Filterbank,  
 
Rekursive Anwendung einer Analyse-Filterbank

Ein gegebenes kontinuierliches Signal   wird zunächst durch orthogonale Projektion auf einen Unterraum   einer orthogonalen Multiskalenanalyse in eine zeitdiskrete Koeffizientenfolge   umgewandelt. Je größer   ist, desto genauer ist die dadurch erzielte Approximation. In vielen Fällen ist es ausreichend,

 

zu setzen. Nun wird rekursiv aus jedem Tiefpasssignal   ein neues Tiefpasssignal

 

und das Bandpasssignal

 

erzeugt. Zusammen bilden diese eine Analyse-Filterbank, die Operationen darin werden weiter unten erklärt.

Nach   Schritten der Rekursion ergeben sich die Folgen

    und    .

Das Ziel dieser Transformation ist, dass die   „dünn“ besetzt sind und sich daher gut komprimieren lassen.

Sind die Filter   und   ausreichend frequenzselektiv, war das Ausgangssignal bandbeschränkt und wurde dem WKS-Abtasttheorem entsprechend die erste Koeffizientenfolge   gewonnen, so enthält das erste Tiefpassergebnis alle Signalbestandteile bis zur halben Nyquist-Frequenz, das Bandpassergebnis die darüberliegenden, beide Male mit einer der Bandbreite entsprechenden Abtastrate.

Analyse und SyntheseBearbeiten

Der Fischgrätenzerlegung in der Multiskalenanalyse entspricht eine aus dem Tiefpass   und dem Bandpass   zusammengesetzte zeitdiskrete Filterbank, es wird ein zeitdiskretes Signal   aufgeteilt in ein hohes Band   und ein tiefes Band   (Faltung von Folgen). Danach werden beide Signale heruntergetaktet (englisch downsampling) zu

    und    .

Mit   sei dabei die zeitinvertierte Folge

 

bezeichnet. Das Heruntertakten einer Folge bedeutet, dass eine neue Folge aus den Gliedern mit geradem Index gebildet wird,

 .

Alle diese Operationen zusammengefasst ergibt sich eine gliedweise Berechnungsvorschrift der Analyse-Filterbank

    und    .

Aus der Orthogonalität ergibt sich, dass das Ausgangssignal   zurückgewonnen werden kann, zuerst werden die Tiefpass- und Bandpassanteile   und   in der Abtastrate hochgerechnet, dies wird als Upsampling bezeichnet, mit den Skalierungs- und Waveletmasken gefaltet und dann addiert,

 

oder koeffizientenweise

 .

Der Übergang von   zu   heißt Analyse, der inverse Synthese. Es ist ersichtlich, dass die Transformierte   eines endlichen Signals nun etwa genauso viele Samples wie das Signal   selbst hat, also genauso viel Information enthält.

ErweiterungenBearbeiten

Es ist nicht erforderlich, dass die Folgen in der Analyse-Filterbank mit denen in der Synthese-Filterbank wie oben übereinstimmen, nur ist dann nicht garantiert, dass die Kombination beider Filterbänke das Ausgangssignal rekonstruiert. Ist dies doch der Fall, spricht man von vollständiger Rekonstruktion (englisch perfect reconstruction) oder von Biorthogonalität der Wavelet-Basen.